在拓扑学及数学的其它相关领域,给定拓扑空间X及其子集A,如果对于X中任一点x,x的任一邻域同A的交集不为空,则A称为在X中稠密。直观上,如果X中的任一点x可以被A中的点很好的逼近,则称A在X中稠密。
等价地说,A在X中稠密当且仅当X中唯一包含A的闭集是X自己。或者说,A的闭包是X,又或者A的补集的内部是空集。
度量空间中的稠密集
在度量空间(E,d)中,也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时,在X中A的闭包 是A与A中元素的所有数列极限(它的极限点)的集合的并集,
- 。
那么当
- ,
A在X中是稠密的。
注意 。如果 是一个完备度量空间X中稠密开集上的序列,则 在X上依然稠密。这个事实与贝尔纲定理中的一个形式等价。
例子
- 每一拓扑空间是其自身的稠密集。
- 有理数域和无理数域是实数域中的稠密集(在通常拓扑意义下)。
- 度量空间 是其完备集 中的稠密集。
参见
参考文献
- Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. 1989 [1971]. ISBN 3-540-64241-2.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446