群论中的同构基本定理形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。
群同构第一定理
给定一个群同态 ,根据群同态第一基本定理,我们可以把 除以 的核,使 变成单射。
直观来讲,把一个群 除以 的子群 相当于把 里的元素看成0(一元素)。把 的核除掉后,我们使得 只在 时才会成立,这是 的单射性的等价叙述。
我们必须先确定商群具有群的结构,才可以对 进行讨论。
定理:
给定 和 两个群,和 群同态。则 是一个 的正规子群。
证明:
记 为 和 的运算符号,记 和 他们的单位元,我们可以验证 在共轭运算下封闭,即对于所有 、所有 ,有 。
我们有 。由于 在 里面,即 ,我们推论 。因此, 在 里面,故 是 的正规子群。
是 的正规子群的这个性质让我们可以在商群 上定义一个与 的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故,群同态 诱导出群同构 。
我们有以下的定理:
群同构第一定理
给定 和 两个群, 群同态,则 诱导出一个从 打到 的群同构。
证明:
记 为 的核。我们定义 为 .
- 函数 定义良好,即 只依赖于 而与代表 的选择无关。理由是,若 是 的一个代表,即若 ,则 ,所以 ,从而 。
- 由商群运算的定义, 是一个群同态。
- 群同态 满射:对于所有 ,存在 使得 ,由此 。
- 群同态 单射。理由是:考虑 的核里的任意元素 ,则 ,即 在 的核 里面。又 是 的单位元。
这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合,以下为示意图
群同构第二定理
群同构第二定理:
给定群 、其正规子群 、其子群 ,则 是 的正规子群,且我们有群同构如下:
证明:
- 必须先证明 确实是一个群,以及 限定在 中亦是一个正规子群,才能讨论商群 。
设 和 为 中的两个元素。我们有 ,其中 , (因为 在 中正规) 且 ,故 在 中,其证明了 在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及逆元的封闭性。
此外,我们有 的包含关系,并且 在 中正规,所以也在 中正规。
取 单射群同态,定义为 ,
取标准满射 (值域是个群,因为 在 中正规)。借由复合两个群同态,我们建构出一个新的群同态 定义为 。
- 群同态 是满射。
理由是,设 ,其中 且 。由于 在 里面, ,故 。
- 的核是 。
理由是, 是 的单位元,即 当且仅当, 在 里面。由于 已经在 里面,所以证明这个相当于证明 在 里面。
- 由群同构第一定理知 是 的正规子群,且其诱导出的映射 是群同构。
如果我们弱化前提,假设 的正规化子包含 (把相等改成包含)这个定理依然正确。
群同构第三定理
群同构第三定理:
给定群 , 和 为 的正规子群,满足 包含于 ,则 是 的正规子群,且有如下的群同构:
证明:
为满射,其核为
所以可由群同构第一定理得到