高斯整数形成了一个唯一分解整环,其可逆元为 。
素元
- 的素元素又称为高斯素数。
高斯整数 是素数当且仅当:
- 中有一个是零,另一个是形为 或其相反数 的素数
或
- 均不为零,而 为素数。
以下给出这些条件的证明。
必要条件的证明为:仅当高斯整数的范数是素数,或素数的平方时,它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数 , 。现在, 是整数,因此根据算术基本定理,它可以分解为素数 的乘积。根据素数的定义,如果 是素数,则它可以整除 ,对于某个 。另外, 可以整除 ,因此 。于是现在只有两种选择:要么 的范数是素数,要么是素数的平方。
如果实际上对于某个素数 ,有 ,那么 和 都能整除 。它们都不能是可逆元,因此 ,以及 ,其中 是可逆元。这就是说,要么 ,要么 ,其中 。
然而,不是每一个素数 都是高斯素数。 就不是高斯素数,因为 。高斯素数不能是 的形式,因为根据费马平方和定理,它们可以写成 的形式,其中 和 是整数,且 。剩下的就只有形为 的素数了。
形为 的素数也是高斯素数。假设 ,其中 是素数,且可以分解为 。那么 。如果这个分解是非平凡的,那么 。但是,任何两个平方数的和都不能写成 的形式。因此分解一定是平凡的,所以 是高斯素数。
类似地, 乘以一个形为 的素数也是高斯素数,但 乘以形为 的素数则不是。
如果 是范数为素数的高斯整数,那么 是高斯素数。这是因为如果 ,那么 。由于 是素数,因此 或 一定是1,所以 或 一定是可逆元。
作为整闭包
高斯整数环是 在高斯有理数域中的整闭包,由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。
作为欧几里德环
在图中很容易看到,每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为 个单位。因此, 是一个欧几里德环,其中 。所以,该环尤其是主理想整环,其理想皆形如 。若 ,则对应的商是:
- [1]
高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的,但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。
关于高斯整数,还有一些猜想和未解决的问题,例如:
实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数 。在复平面上,还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗?特别地,实数部分为 的直线上存在无穷多个高斯素数吗?
在高斯素数上行走,步伐小于某个给定的值,可以走到无穷远吗?