算术基本定理

${\displaystyle \forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A}$ . 其中 ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}}$  而且 ${\displaystyle p_{i}}$  是一个质数，${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}}$ .

这种表示的方法存在，而且是唯一的。

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数${\displaystyle p|ab}$ ，则不是 ${\displaystyle p|a}$ ，就是${\displaystyle p|b}$ 。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

存在性

用反证法：假设存在大于 ${\displaystyle 1}$  的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为 ${\displaystyle n}$ 。

${\displaystyle n}$  不可为质数，因为 ${\displaystyle n=n}$  可被写成质数的乘积。因此 ${\displaystyle n}$  一定是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于 ${\displaystyle 1}$  的自然数的积。设 ${\displaystyle n=a\times b}$  ，则根据假设，由于 ${\displaystyle n}$  是最小的不能被写成质数乘积的自然数，所以 ${\displaystyle a=p_{1}p_{2}...p_{j}}$  和 ${\displaystyle b=q_{1}q_{2}...q_{j}}$  都能被写成质数的乘积。然而 ${\displaystyle n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j}}$  也可以写成质数的乘积，由此产生矛盾，故大于 ${\displaystyle 1}$  的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得引理：若质数${\displaystyle p|ab}$ ，则不是 ${\displaystyle p|a}$ ，就是${\displaystyle p|b}$ 。

引理的证明：若${\displaystyle p|a}$  则证明完毕。若${\displaystyle p\nmid a}$ ，那么两者的最大公约数为1。根据贝祖定理，存在${\displaystyle (m,n)}$  使得${\displaystyle ma+np=1}$ 。于是${\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp}$ 。 由于${\displaystyle p|ab}$ ，上式右边两项都可以被p整除。所以${\displaystyle p|b}$ 。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设${\displaystyle n}$ 是其中最小的一个。

首先${\displaystyle n}$ 不是质数。将${\displaystyle n}$ 用两种方法写出：${\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}$  。根据引理，质数${\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}$  ，所以${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}}$  中有一个能被${\displaystyle p_{1}}$ 整除，不妨设为${\displaystyle q_{1}}$ 。但${\displaystyle q_{1}}$ 也是质数，因此${\displaystyle q_{1}=p_{1}}$  。所以，比${\displaystyle n}$ 小的正整数${\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}}$ 也可以写成${\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}$  。这与${\displaystyle n}$  的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )}$  之中，只有少数几个能满足，最大的一个 ${\displaystyle D}$  是 ${\displaystyle D=163}$ 。例如，${\displaystyle 6}$ 可以以两种方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$  中表成整数乘积：${\displaystyle 2\times 3}$  和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$ 。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$  中得出并证明，只要不计四个可逆元素 ${\displaystyle (\pm 1,\pm i)}$  之作用，那么这个唯一分解定理在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$  也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

对于二次方程：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}$ ，它的根可以表示为： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$ 

因为负数不能开平方，${\displaystyle b^{2}-4ac}$ 的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)}$  ${\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163}$  两个复数解为: ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}}$ 

${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}$ 哪个${\displaystyle d}$ 值可以得到唯一分解定理？ ${\displaystyle d=1,2,3}$ 皆可得到定理，但当${\displaystyle d=5}$ 时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 ${\displaystyle 6=2\times 3}$ ；${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$ 。在高斯时代，已知有9个${\displaystyle d}$ 使得${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}$ 所产生的数有唯一因子分解（${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$ 如上面指出那样取值）。 ${\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}$ 高斯认为${\displaystyle d}$ 的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个${\displaystyle d}$ 值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

• （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （页面存档备份，存于互联网档案馆）