二次域

二次域${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 里的整数环${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 定义为该域中的代数整数。当${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$ 时，整数环可描述为${\displaystyle \mathbb {Z} ({\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}})}$ ，否则为${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {d}})}$ 。当${\displaystyle d=-1}$ 时，这些整数称为高斯整数，当${\displaystyle d=-3}$ 时，称为艾森斯坦整数。

根据上述描述，${\displaystyle K}$ 的判别式不难计算：当${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$ 时判别式为${\displaystyle d}$ ，否则则为${\displaystyle 4d}$ 。

设${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ，${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ 为素数。数论关注的问题是${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$ 如何在${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 中分解成素理想之积。根据数域的分歧理论，应考虑以下情形：

• ${\displaystyle p}$ 是惯性的：${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ 仍为素理想，此时${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p^{2}}}$ 。
• ${\displaystyle p}$ 分裂：${\displaystyle (p)}$ 为两个相异素理想之积，此时${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p}^{2}}$ 。
• ${\displaystyle p}$ 分歧：${\displaystyle (p)}$ 为某个素理想之平方，此时${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)}$ 含有非零的幂零元。

根据之前对判别式的计算，可知${\displaystyle p}$ 分歧当且仅当${\displaystyle p}$ 整除${\displaystyle K}$ 的判别式（${\displaystyle d}$ 或${\displaystyle 4d}$ ，取决于${\displaystyle d\mod 4}$ ）；对其余无穷多个素数，前两个情形皆会发生，而且其概率在某种意义上相等。

素p分圆域和二次域

分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。

其他的分圆域

如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那么就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的前导子（conductor） 是判别式D的绝对赋值 （value） 。