全实域

在代数数论中，若数域 ${\displaystyle K}$ 的每个嵌入 ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ 的像都落在实数域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$，则称 ${\displaystyle K}$ 为全实域或全实数域。

若 ${\displaystyle K}$ 可表为 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$，设 ${\displaystyle \alpha }$ 在 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的的极小多项式为 ${\displaystyle P(X)}${\displaystyle P(X)} ，则嵌入映射 ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ 透过 ${\displaystyle \sigma \mapsto \sigma (\alpha )}$ 一一对应于 ${\displaystyle P(X)}$ 在 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 里的根。${\displaystyle K}$ 是全实域当且仅当 ${\displaystyle P(X)}$ 仅有实根。

另一种判准是：${\displaystyle K}$ 是全实域当且仅当 ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \simeq \mathbb {R} ^{[K:\mathbb {Q} ]}}$。

全实域在代数数论中是较容易处理的数域。对于任意的阿贝尔扩张 ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$，我们有 ${\displaystyle L}$ 是全实域，或者存在极大的全实子域 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ 使得 ${\displaystyle [L:K]=2}$。