二进分数此条目需要扩充。 (2013年3月2日)请协助改善这篇条目,更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。二进分数,也称为二进有理数,是一种分母是2的幂的分数。可以表示成 a 2 b {\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}} ,其中, a {\displaystyle a} 是一个整数, b {\displaystyle b} 是一个自然数。例如: 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , 3 8 {\displaystyle {\frac {3}{8}}} ,而 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 就不是。(英制单位中广泛采用二进分数,例如 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 英寸, 1 16 {\displaystyle {\frac {1}{16}}} 英寸, 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 磅。) 从0到1的二进分数。 各种各样的数 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} } 正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数有限小数无限小数循环小数有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 复数 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整数 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分数单位分数二进分数规矩数无理数超越数虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次无理数艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} 延伸 二元数四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超实数 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大实数上超实数 双曲复数双复数复四元数共四元数(英语:Dual quaternion)超复数超数超现实数 其他 质数 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可计算数基数阿列夫数同余整数数列公称值 规矩数可定义数序数超限数p进数数学常数 圆周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} …自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} …虚数单位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 无穷大 ∞ {\displaystyle \infty } 查论编 所有二进分数组成的集合在实数轴上是稠密的:任何实数 x {\displaystyle x} 都可以用形为 ⌊ 2 i x ⌋ / 2 i {\displaystyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}} 的二进分数无限逼近。与实数轴上的其它稠密集,例如有理数相比,二进分数是相对“小”的稠密集,这就是为什么它们有时出现在证明中(例如乌雷松引理)。 任何两个二进分数的和、积,与差也是二进分数: a 2 b + c 2 d = 2 d − b a + c 2 d ( d ≥ b ) {\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a+c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)} a 2 b − c 2 d = 2 d − b a − c 2 d ( d ≥ b ) {\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a-c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)} a 2 b − c 2 d = a − 2 b − d c 2 b ( d < b ) {\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a-2^{b-d}c}{2^{b}}}\quad (d<b)} a 2 b × c 2 d = a × c 2 b + d . {\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a\times c}{2^{b+d}}}.} 但是,两个二进分数的商则一般不是二进分数。因此,二进分数形成了有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的一个子环。