循环小数

循环小数,也称为无限循环小数,是从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字,依次不断地重复出现的小数。

循环小数
1
7
=0.142857142857…
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

定义

循环小数都为有理数小数表示形式,例:

 

 

 

性质

  • 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数,循环节位数一定是N-1的因数(参见:费马伪素数)。为了证明这点,可用反证法。假设 的循环节为m,令m>n。将1/n乘以10,循环往复操作,会得到不同的余数。根据余数定义,余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数,所以只有n-1种循环节。若长度为m为,则必有(m-n+1)种循环节无法轮替,所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
  • 根据分数 的情况分开讨论
1.除数a为 的倍数时, 有max(m,n)个不循环位数,其中 为任意自然数, 为非 之其他数。
2.如果 ,a不是2或5的倍数,并且a与b互素,那么存在一个正整数e,e为 的循环节位数,而e= [1]
 表示 可以整除a,或称 与1同余)
事实上以该参考文献的定理一公式推导式子: 来看, 也成立,例如  ,两者循环小数一致,因为 ,只差别在商,余数皆为1(同余)故成立。
3.承接以上两点,当除数a可以素因数标准分解式表示成  时,会有max(m,n)个不循环位数,和 个循环节位数。
其中, ,  ,⋯, 分别各有e1,e2,...,en个循环节位数,存在一个最小公倍数 e1,e2,...,en 
例: 的循环节个数?
答:前三位不循环(2 和 5 的最高次方为 3),循环节个数是 48(因为 的循环节位数为1,7的循环节位数为6,17的循环节位数为16,[1,6,16]=48)[2]

化为分数的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未约至最简)

(⬇另一方法)

  1. 先看有几位“非循环节位数( )”和“循环节位数( )”,算出后,将 摆于“分母”。
  2. 分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字,将其减去“非循环节部分”,即 ,详细公式如下。
  3. 公式: 
  4. 原理:
    1.  
    2.  ──①式。
    3.  ──②式。
    4. ②-①⇒ 
    5.  
  5. 范例: 
    1.  
    2.   
    3. 两式相减得  
    4.  

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数 )转化为循环小数。

例如 可以用短除法计算如下:

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

  • 使用“上横线”表示,如:

 

  • 使用“上点”表示,如:

 

  • 使用“大括号”表示,如:

 

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如 

进位制系统密切相关

由于循环小数与进位制系统密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如: 

但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如 

又或 

参考资料

  1. ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 数学传播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. (原始内容 (PDF)存档于2021-11-04). 
  2. ^ 質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. (原始内容 (PDF)存档于2017-01-12). 

参见

外部链接