虚数

在几何学上，复数平面的垂直轴表示虚数，它们与代表实数的水平轴垂直。查看虚数的方法之一是参考标准数线：往右侧正幅度增长，往左侧则负幅度减少。在x轴的0点处，往上升方向可绘制y轴的“正”虚数，然后向上增加；而“负”虚数则往下增加。这个垂直轴通常被称为“虚数轴”，并被表示为${\displaystyle i\mathbb {R} }$ ，Im，${\displaystyle \mathbb {I} }$ ，或${\displaystyle \Im }$ 。

在该呈现图示中，乘以–1对应于以原点为中心180度的旋转。${\displaystyle i}$ 的乘法对应于“逆时针”方向的90度旋转，而方程式${\displaystyle i^{2}=-1}$ 可被解释为，如果我们对原点应用两个90度旋转，则终了结果是单一个180度旋转。注意，“顺时针”方向的90度旋转也满足这种解释。这反映了${\displaystyle -i}$ 也解出了方程${\displaystyle x^{2}=-1}$ 。一般来说，乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同，然后按其大小进行缩放。

我们应该将根号视为求${\displaystyle x^{2}}$ 的解，故将一个数开根号后会有两个合理的值，此二值互相差一个负号。在将正数开根号时，这两个值一为正数一为负数，故习惯上直接将根号对应到正值，而负值的解以根号前加负号来表示。但对其它的数而言开根号没有自然的对应，${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 实际上代表的是两个数，分别为${\displaystyle +i}$ 及${\displaystyle -i}$ 。但若直接将${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 对应到${\displaystyle +i}$ ，而${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$ 对应到${\displaystyle -i}$ 也未尝不可。

1. 不同的虚数都是不能比较大小的：${\displaystyle 1<2\,}$ 成立，但${\displaystyle 1+i<2+i\,}$ 和${\displaystyle i<2i\,}$ 却均不成立。

举例说明：（反证法）

假设${\displaystyle i>0\,}$ 

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$ 

得${\displaystyle -1>0\,}$ 即可看出矛盾。

再举例：假设${\displaystyle i<0\,}$ 

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$ （不等式两侧同乘假设为负的${\displaystyle i}$ ，不等式由小于变为大于）

得${\displaystyle -1>0\,}$ 即可看出矛盾。

因此虚数或者说虚部不为0的复数不能比较大小。

2. 因为${\displaystyle i^{0}=1\,}$ ，${\displaystyle i^{1}=i\,}$ ，${\displaystyle i^{2}=-1\,}$ ，${\displaystyle i^{3}=-i\,}$ ，${\displaystyle i^{4}=1\,}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ，很容易知道${\displaystyle i^{n}\,}$ （${\displaystyle n\in \mathbb {N} \,}$ ）是关于指数${\displaystyle n\,}$ 的周期函数，最小正周期是${\displaystyle 4\,}$ 。于是，我们有

${\displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,}$ 

这表示${\displaystyle i\,}$ 为方程${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,}$ 的一个根，另三个根分别为${\displaystyle -i,-1\,}$ 及${\displaystyle 0\,}$ 。

另外可以证明

${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$ 

和

${\displaystyle {\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$ 

为下列方程的根

${\displaystyle x^{2}+x+1=0\,}$ 

${\displaystyle x^{3}=1\,}$ 

其中，${\displaystyle {\overline {\omega }}\,}$ 称为${\displaystyle \omega \,}$ 的共轭虚数（或共轭复数）。

3. 如果再将虚数的这个概念扩展开去，就可以组成四元数（Quaternion）、八元数（Octonion）等特殊数学范畴。

• 虚数单位
• 复数
• 四元数
• 八元数

• 虚数i的介绍
• ${\displaystyle i^{7321}\,}$ 的计算方法举例
• i作为-1的平方根^{[永久失效链接]}