阿列夫数
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在集合论中,阿列夫数或艾礼富数是一连串超穷基数。其标记符号为 ℵ (由希伯来字母א(aleph)演变而来)加角标表示。
可数集(包括自然数)的势标记为,下一个较大的势为,再下一个是,以此类推。一直继续下来,便可以对任一序数 α 定义一个基数。
这一概念来自于康托尔,他定义了势,并认识到无穷集合是可以有不同的势的。
阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限 (∞) 不同。阿列夫数用来衡量集合的大小,而无限只是在极限的写法中出现,或是定义成扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数,而无限只是无限而已。
构造性定义
阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”,也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数,是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题:[1]:28
阿列夫1
是所有可数序数集合的势,称为 ω1或有时为Ω。这个ω1本身是一个比所有可数序数更大的序数,因此它为一个不可数集。
数“阿列夫”
在中国大陆,实数集的基数常被记为 c 或 ℵ,即 ℵ := ℶ₁,这样连续统假设就常常被表述为 ℵ = ℵ₁.阅读相关读物时应避免混淆。人们在学数学分析(微积分)时常常以为自己时常遇到的是阿列夫数,事实上他们遇到的是 “ℵ”或“c”,即角标为1的 ℶ 数。除非讨论集合论,否则阿列夫数将是最不常用的基数之一。
另见
注释
参考文献
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. Aleph-0. MathWorld.
- aleph numbers at PlanetMath.