共轭复数

复数${\displaystyle z=a+bi}$ （${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ）的共轭定义为：

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {a+bi}}=a-bi}$ 

有时也表为：

${\displaystyle z^{*}={(a+bi)}^{*}=a-bi}$ 

如：

${\displaystyle {\overline {3-2i}}=3+2i}$ 

${\displaystyle {\overline {7}}=7}$ （实数的共轭为自身）

${\displaystyle {\overline {i}}=-i}$ （纯虚数的共轭）

将复数理解为复平面的一点的话，则几何上，复共轭是此点以实数轴为对称轴的镜射。

对于复数${\displaystyle z,w}$ ：

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\\{\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\\{\overline {zw}}={\overline {z}}\,{\overline {w}}\\{\overline {\left({\dfrac {z}{w}}\right)}}={\dfrac {\overline {z}}{\overline {w}}}&(w\neq 0)\\{\overline {z}}=z&(z\in \mathbb {R} )\\{\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}&(n\in \mathbb {Z} )\\|{\overline {z}}|=|z|\\|{\overline {z}}|^{2}=z{\overline {z}}\\{\overline {({\overline {z}})}}=z\\z^{-1}={\dfrac {\overline {z}}{|z|^{2}}}&(z\neq 0)\end{array}}}$ 

一般而言，如果复平面上的函数${\displaystyle \phi }$ 能表为实系数幂级数，则有：

${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}}$ 

最直接的例子是多项式，由此可推得实系数多项式之复根必共轭。此外也可用于复指数函数与复对数函数（取定一分支）：

${\displaystyle {\begin{array}{l}\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\\\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}&(z\neq 0)\end{array}}}$ 透过欧拉公式，在极坐标表法下，复数共轭可以写成

${\displaystyle {\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }}$ 

复共轭是复平面上的自同构，但是并非全纯函数。

记复共轭为${\displaystyle \tau }$ ，则有${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )=\{1,\tau \}}$ 。在代数数论中，惯于将复共轭设想为“无穷素数”的弗罗贝尼乌斯映射，有时记为${\displaystyle F_{\infty }}$ 。