欧拉公式

约翰·伯努利注意到有^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$ 

并且由于

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$ 

上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于复对数的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，罗杰·柯特斯（英语：Roger Cotes）于 1714 年发现^[5]

${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$ 

由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表^[6][5]。

大约50年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数视做复平面中的点。

对于任意实数${\displaystyle x\,}$ ，以下等式恒成立：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ 

由此也可以推导出

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$ 及${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$ 。

当${\displaystyle x=\pi \,}$ 时，欧拉公式的特殊形式为

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$ 。

首先，在复数域上对${\displaystyle e^{x}\,}$ 进行定义：

对于${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,c=a+ib\in \mathbb {C} }$ ，规定${\displaystyle e^{c}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {c}{n}})^{n}}$ 。

对复数的极坐标表示${\displaystyle w=u+iv=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$ ，有：

${\displaystyle r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\in \mathbb {R} ,\theta =\arctan({\frac {v}{u}})\in \mathbb {R} }$ 

且根据棣莫弗公式，${\displaystyle w^{n}=(u+iv)^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )}$ 

从而有：

${\displaystyle (1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=[(1+{\frac {a}{n}})+i{\frac {b}{n}}]^{n}=r_{n}(\cos \theta _{n}+i\sin \theta _{n})}$ 

假设${\displaystyle n>|a|}$ ，则：

${\displaystyle r_{n}=[(1+{\frac {a}{n}})^{2}+({\frac {b}{n}})^{2}]^{\frac {n}{2}},\theta _{n}=n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}}}$ 

从而有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\ln r_{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}\ln(1+{\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}({\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=a\\\end{aligned}}}$ 

这一步骤用到 ${\displaystyle \ln(1+x)\approx x}$ （墨卡托级数）

即：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }e^{\ln r_{n}}=e^{a}}$ 

又有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\theta _{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n{\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=b\\\end{aligned}}}$ 

从而可以证明：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$ 

即：

${\displaystyle e^{a+ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$ 

令${\displaystyle a=0}$ ，可得欧拉公式。

证毕。^[7]

方法一：泰勒级数

把函数${\displaystyle e^{x}\,}$ 、${\displaystyle \cos x\,}$ 和${\displaystyle \sin x\,}$ 写成泰勒级数形式：

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$ 

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$ 

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$ 

将${\displaystyle x=iz\,}$ 代入${\displaystyle e^{x}\,}$ 可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&=\cos z+i\sin z\end{aligned}}}$ 

方法二：求导法

对于所有${\displaystyle x\in I}$ ，定义函数${\displaystyle f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}}$ 

由于${\displaystyle e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{0}=1}$ 

可知${\displaystyle e^{ix}\,}$ 不可能为0，因此以上定义成立。

${\displaystyle f(x)\,}$ 之导数为：

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}-i^{2}\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&=0\end{aligned}}}$ 

设${\displaystyle [a,b]\in I}$ 和${\displaystyle c\in (a,b)}$ 

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$ （拉格朗日中值定理）

${\displaystyle \because f'(x)=0}$ 

${\displaystyle \therefore f'(c)=0}$ 

${\displaystyle f(a)=f(b)}$ 

因此${\displaystyle f(x)\,}$ 必是常数函数。

${\displaystyle f(x)=f(0)}$ 

${\displaystyle }$

${\displaystyle {\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1}$ 

重新整理，即可得到：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ 

方法三：微积分

找出一个函数，使得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=iy}$ 及${\displaystyle f(0)=1}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{ix}=ie^{ix}=iy}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)&=-\sin x+i\cos x\\&=i(i\sin x+\cos x)\\&=iy\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle e^{i0}=e^{0}=1}$ 

${\displaystyle \cos 0+i\sin 0=1+i(0)=1}$ 

如果使用积分法，${\displaystyle iy}$ 的原函数是以上两个函数。

${\displaystyle x=0}$ 时，原函数的值相等，所以以上两个函数相等。

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ 

在复分析领域，欧拉公式亦可以以函数的形式表示

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta }$ 

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$ 

并且一般定义域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}$ ，值域为${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}$ （复平面上的所有单位向量）。

当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

当${\displaystyle \theta }$ 值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。^[2]

由于${\displaystyle e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha }$ 且${\displaystyle e^{i\beta }=\cos \beta +i\sin \beta }$ ，则有

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i(\alpha +\beta )}&=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )=e^{i\alpha +i\beta }\\&=e^{i\alpha }\times e^{i\beta }\\&=(\cos \alpha +i\sin \alpha )\times (\cos \beta +i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \times \cos \beta +i\sin \alpha \times i\sin \beta )+(i\sin \alpha \times \cos \beta +\cos \alpha \times i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\\\end{aligned}}}$ 

实部等于实部，虚部等于虚部，因此

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$ 

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$ 

这公式可以说明当 ${\displaystyle x}$  为实数时，函数 ${\displaystyle e^{ix}}$  可在复数平面描述一单位圆。且 ${\displaystyle x}$  为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数 ${\displaystyle z=x+yi}$  皆可记为

${\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,}$ 

${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,}$ 

在此

${\displaystyle x=\mathrm {Re} \{z\}\,}$ 为实部

${\displaystyle y=\mathrm {Im} \{z\}\,}$ 为虚部

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ 为 ${\displaystyle z}$  的模

${\displaystyle \phi =\mathrm {atan2} {(y,x)}}$ ，其中 ${\displaystyle \mathrm {atan2} {(y,x)}={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y\geq 0,x<0\\-\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y<0,x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$ 

• cis函数
• 欧拉恒等式