泰勒级数

在数学上，对于一个在实数或复数${\displaystyle a}$ 邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数${\displaystyle f(x)}$ ，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$ 

这里，${\displaystyle n!}$ 表示${\displaystyle n}$ 的阶乘，而${\displaystyle f^{(n)}(a)\,\!}$ 表示函数${\displaystyle f}$ 在点${\displaystyle a}$ 处的${\displaystyle n}$ 阶导数。如果${\displaystyle a=0}$ ，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

如果泰勒级数对于区间${\displaystyle (a-r,a+r)}$ 中的所有${\displaystyle x}$ 都收敛并且级数的和等于${\displaystyle f(x)}$ ，那么我们就称函数${\displaystyle f(x)}$ 为解析形的函数（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，“只有在且只要在”）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的余项，这样就能够确定级数是否收敛于${\displaystyle f(x)}$ 。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：

1. 可以逐项对幂级数的计算微分和积分，因此求和函数相对比较容易。
2. 数学家因此能够在复数平面上研究函数，因为一个解析函数，也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
3. 可用泰勒级数估计，在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数${\displaystyle f(x)}$ ，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于${\displaystyle f(x)}$ 。例如，分段函数${\displaystyle f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$ ，如果${\displaystyle x\neq 0}$ 并且${\displaystyle f(0)=0}$ ，则${\displaystyle x=0}$ 时所有的导数都为零，所以这个${\displaystyle f(x)}$ 的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数${\displaystyle f(x)}$ 仅在${\displaystyle x=0}$ 处为零。但是，在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在，因为当${\displaystyle z}$ 沿虚轴趋于零，${\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$ 并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量${\displaystyle x}$ 是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在${\displaystyle x=0}$ 的时候，${\displaystyle f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$ 会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。

最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method（英语：Parker-Sochacki method）^[1]。用皮卡迭代便可以推导出这个方法。

下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量${\displaystyle x}$ 是复数时，这些等式依然成立。

几何级数

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1}$ 

二项式级数

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots }$ 

${\displaystyle \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} }$ 

二项式系数${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}$ 。

指数函数和自然对数

以${\displaystyle e}$ 为底数的指数函数的麦克劳林序列是

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \quad \forall x}$  （对所有X都成立）

以${\displaystyle e}$ 为底数的自然对数的麦克劳林序列是

${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}-\cdots \quad \forall x\in [-1,1)}$  （对于在区间[-1,1)内所有的X都成立）

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]}$  （对于在区间(-1,1]内所有的X都成立）

三角函数

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$ 

在${\displaystyle \tan(x)}$ 展开式中的B_k是伯努利数。在${\displaystyle \sec(x)}$ 展开式中的E_k是欧拉数。

双曲函数

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x}$ 

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x}$ 

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$ 

${\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}$ 

${\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}$ 

${\displaystyle \tanh(x)}$ 展开式中的B_k是伯努利数。

朗伯W函数

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}}$ 

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数： ${\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}$ 

希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。^[2]几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。^[3]

进入14世纪，马德哈瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）最早使用了泰勒级数以及相关的方法^[4]。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派（英语：Kerala school of astronomy and mathematics）在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒 ^[5] 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

牛顿插值公式也叫做牛顿级数，由“牛顿前向差分方程”的项组成，得名于伊萨克·牛顿爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五^[6]，此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续“泰勒展开”的离散对应。

差分

对于x值间隔为非一致步长，牛顿计算均差，对x值间隔为单位步长1或一致但非单位量的情况，计算差分，前向差分的定义为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\\\Delta _{h}^{n}[f](x)&=\Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta _{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}}$ 

插值公式

牛顿前向差分插值公式为：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left(\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}}$ 

这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。

无穷级数

牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了${\displaystyle \ln(1+x)}$ 的无穷级数，在1666年得出了${\displaystyle \arcsin(x)}$ 和${\displaystyle \arctan(x)}$ 的无穷级数，在1669年的《分析学》中发表了${\displaystyle \sin(x)}$ 、${\displaystyle \cos(x)}$ 、${\displaystyle \arcsin(x)}$ 和${\displaystyle e^{x}}$ 的无穷级数；莱布尼茨在1673年大概也得出了${\displaystyle \sin(x)}$ 、${\displaystyle \cos(x)}$ 和${\displaystyle \arctan(x)}$ 的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa （页面存档备份，存于互联网档案馆）》中研讨了有限差分方法，其中论述了他在1712年得出的泰勒定理，这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出，而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。

他对牛顿的均差分的步长取趋于${\displaystyle 0}$ 的极限，得出：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}}$ 

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• 牛顿多项式
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