反正切

原始的定义是将正切函数限制在${\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ （[-90°,90°]）的反函数
在复变分析中，反正切是这样定义的：

${\displaystyle \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln \left({\frac {{\mathrm {i} }+x}{{\mathrm {i} }-x}}\right)\,}$ 

这个动作使反正切被推广到复数。

直角坐标系中

在直角坐标系中，反正切函数可以视为已知平面上直线斜率的倾角

级数定义

反正切函数可利用泰勒展开式来求得级数的定义 反正切函数的泰勒展开式为：

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }$ 

当${\displaystyle \left|x\right|\leq 1}$ 且${\displaystyle x\neq \pm i}$ 时，这是一个收敛的级数，这使得反正切函数被定义在整个实数集上。这个级数也可以用来计算圆周率的近似值，最简单的公式是${\displaystyle x=1}$ 时的情况，称为莱布尼茨公式^[3]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\ldots }$ 

更精确的写法是梅钦类公式

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctan} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctan} {\frac {1}{239}}}$ 

由于反正切函数是一个奇函数，因此满足下面等式：

${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}$ 

反正切函数的微分导数为：

${\displaystyle {\rm {arctan}}'x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\rm {arctan}}''x={\frac {-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}}$ 

${\displaystyle {\rm {arctan}}'''x={\frac {\;6x^{2}-2\;}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}}$ 

${\displaystyle {\rm {arctan}}''''x={\frac {\;-24x^{3}+24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}}$ 

${\displaystyle \cdots \qquad .}$ 

和差

${\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},xy<1}$  （+）、${\displaystyle xy>-1}$ （－）

${\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x>0,xy>1}$ （+）、${\displaystyle x>0,xy<-1}$ （－）

${\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=-\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x<0,xy>1}$ （+）、${\displaystyle x<0,xy<-1}$ （－）

在三角函数中，atan2是反正切函数的一个变种，有两个变数，主要是提供给计算机编程语言一个简便的角度计算方式，其定义为：

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$ 

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Tangent. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Machin-Like Formulas. MathWorld. 

• 正切
• 余切