到达域

例一

定义三个函数：

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}}$ 

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ g(x)=x^{2}}$ 

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x)={\sqrt {x}}}$ 

其中${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}=\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$ 。

1. 因为${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ，函数${\displaystyle f}$ 的输出值皆为非负数，所以${\displaystyle f}$ 的值域为${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ，也就是${\displaystyle [0,\infty )}$ 区间。又因${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\subset \mathbb {R} }$ ，即${\displaystyle f}$ 的到达域不等于值域，所以${\displaystyle f}$ 不是一个满射函数。
2. 虽然${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 函数的输出值相同，但因为两者的到达域不同，因此不是相同的函数。
3. 因为${\displaystyle f}$ 的到达域不等于${\displaystyle h}$ 的定义域，合成函数 ${\displaystyle h\circ f}$ 为无效的函数。唯有合成符号右侧函数的到达域和左侧函数的定义域相同时，该合成函数才有效，例如${\displaystyle h\circ g}$ 。

例二

定义${\displaystyle T}$ 为介于两个线性空间的线性变换：

${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ 

${\displaystyle T}$ 也可以被表达成一个2×2的实数矩阵，代表一个从定义域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 到到达域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 的对应方式。 假设

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}}$ 

则代表把所有定义域中的点${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$  对应到到达域中的点 ${\displaystyle (x,x)\in \mathbb {R} ^{2}}$ 。由于${\displaystyle T}$ 的值域只搜集了所有${\displaystyle x=y}$ 的点，例如点${\displaystyle (2,3)}$ 不在${\displaystyle T}$ 的值域中，但在${\displaystyle T}$ 的到达域${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中，因此${\displaystyle T}$ 不是一个满射函数。

在此例中，2×2的矩阵在秩（rank）等于2时，为满射函数，小于2时则非。到达域和值域是否相等可做为判断矩阵是否有满秩（full rank）的依据，因为${\displaystyle T}$ 的值域小于到达域，所以${\displaystyle T}$ 没有满秩。

• 定义域
• 值域
• 函数