欧拉数

提示：此条目的主题不是欧拉常数或欧拉示性数。

  其它用法，参见欧拉数 (物理学)，另见e (数学常数)，和欧拉-马歇罗尼常数。

欧拉数E_n是一个整数数列，由下列泰勒级数展开式定义：

${\displaystyle {\frac {2}{\exp(t)+\exp(-t)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$

奇数项的欧拉数皆为零，偶数项的欧拉数正负相间，开首为：

E₀ = 1

E₂ = -1

E₄ = 5

E₆ = -61

E₈ = 1,385

E₁₀ = -50,521

E₁₂ = 2,702,765

E₁₄ = -199,360,981

E₁₆ = 19,391,512,145

E₁₈ = -2,404,879,675,441 （OEIS数列A028296）

部分作者会把数列中的奇数项移除，只替偶数项编序，并且把负号转为正号。这里依从上段所用的惯例。

欧拉数在正割sec x和双曲正割sech x的泰勒级数出现。双曲正割就是定义中使用的函数。组合数学也会用到欧拉数。此外，在关于自然数负幂的交错和中也涉及到欧拉数。

欧拉多项式是以欧拉数构造。