E (数学常数)

第一次提到常数${\displaystyle e}$ ，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把${\displaystyle e}$ 看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 。

已知的第一次用到常数${\displaystyle e}$ ，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以${\displaystyle b}$ 表示。1727年欧拉开始用${\displaystyle e}$ 来表示这常数；而${\displaystyle e}$ 第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然往后年日有研究者用字母${\displaystyle c}$ 表示，但${\displaystyle e}$ 较常用，终于成为标准。

用${\displaystyle e}$ 表示的原因确实不明，但可能因为${\displaystyle e}$ 是“指数”（exponential）一字的首字母。另一看法则称${\displaystyle a,b,c,d}$ 有其他经常用途，而${\displaystyle e}$ 是第一个可用字母。

就像圆周率${\displaystyle \pi }$ 和虚数单位i，${\displaystyle e}$ 是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。

1. 定义${\displaystyle e}$ 为下列极限值：

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

   ${\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}}$ 

2. 定义${\displaystyle e}$ 为阶乘倒数之无穷级数的和^[5]：

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$ 

   其中${\displaystyle n!}$ 代表${\displaystyle n}$ 的阶乘。

3. 定义${\displaystyle e}$ 为唯一的正数${\displaystyle x}$ 使得

   ${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1}$ 

4. 定义${\displaystyle e}$ 为唯一的实数${\displaystyle x}$ 使得

   ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1}$ 

这些定义可证明是等价的，请参见文章指数函数的特征描述（英语：Characterizations of the exponential function）。

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数${\displaystyle e^{x}}$ 的重要性在于，唯独该函数（或其常数倍，即${\displaystyle x\mapsto ke^{x}}$ ，其中${\displaystyle k}$ 为任意常数）与自身导数相等。即：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ 。

${\displaystyle e^{x}}$ 的泰勒级数为${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x}$ 

${\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}$ 

${\displaystyle x}$ 为复数时依然成立，因此根据${\displaystyle \sin x}$ 及${\displaystyle \cos x}$ 的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x}$ 

当${\displaystyle x=\pi }$ 的特例是欧拉恒等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$ 

此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$ 

即棣莫弗公式。

• ${\displaystyle e}$ 是无理数和超越数（见林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。这是第一个获证为超越数的数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。有猜想它为正规数。
• 当${\displaystyle x=e}$ 时函数${\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}}$ 有最大值。
• ${\displaystyle e}$ 的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下（  A003417）

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]}$ 

就像以下的展开式：

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 

反证法

证明${\displaystyle e}$ 是无理数可以用反证法。假设${\displaystyle e}$ 是有理数，则可以表示成${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$  ，其中${\displaystyle a,b}$ 为正整数。以${\displaystyle e}$ 的无穷级数展开式可以得出矛盾。

考虑数字

${\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)}$ ，

以下将推导出${\displaystyle x}$ 是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证${\displaystyle e}$ 是无理数。

• ${\displaystyle x}$ 是整数，因为

  ${\displaystyle 0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)}$ 

  ${\displaystyle =a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}}$ 

  ${\displaystyle =a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]}$ 。

• ${\displaystyle x}$ 是小于1的正数，因为

  ${\displaystyle 0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}}$ 

  ${\displaystyle ={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots }$ 

  ${\displaystyle <{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1}$ 。

但是0与1之间（不含0与1）不存在有整数，故原先假设矛盾，得出${\displaystyle e}$ 为无理数。

二项式定理

视${\displaystyle n}$ 为存在的数值，所以用二项式定理可证出：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]}$ 

${\displaystyle =2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...}$ 

${\displaystyle =2.71828...}$ 

• 在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的${\displaystyle e}$ 十亿美元。Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关。
• Google也是首先在硅谷心脏地带，接着在马萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版 的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在${\displaystyle e}$ 的连续数字中第一个发现的十位素数.com）。解决了这问题（第一个${\displaystyle e}$ 中的十位素数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。
• 著名计算机科学家高德纳的软件Metafont的版本号码趋向${\displaystyle e}$ （就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

• e的π次方
• 无理数
• 超越数
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• 圆周率
• 指数函数
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