所有刘维尔数都是超越数,但反过来并不对。例如,著名的e和 就不是刘维尔数。实际上,有不可数多的超越数都不是刘维尔数。
证明
刘维尔定理:若无理数 是代数数,即整系数 次多项式 的根,那么存在实数 ,对于所有 有
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证明:令 ,记 的其它的不重复的根为
,取这样的A
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如果存在使定理不成立的 ,就有
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那么,
据拉格朗日中值定理,存在 和 之间的 使得
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有
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是多项式,所以
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由于 和
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矛盾。
证明刘维尔数是超越数:有刘维尔数 ,它是无理数,如果它是代数数则
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取满足 的正整数 ,并令 ,存在整数 其中 有
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与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。