正割
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性质 | |
奇偶性 | 偶 |
定义域 | |
到达域 | |
周期 | (360°) |
特定值 | |
当x=0 | 1 |
当x=+∞ | N/A |
当x=-∞ | N/A |
最大值 | +∞ |
最小值 | -∞ |
其他性质 | |
渐近线 | (x=180°k+90°) |
根 | 无实根 |
临界点 | (180°k) |
拐点 | (180°k-90°) |
不动点 | 当x轴为弧度时: -2.07393280909121...[注 1] (-118.827596954637699...°) -4.487669603341...[注 2] (-257.12452812059255...°) 4.9171859252871...[注 3] (281.734000600083215...°) 7.72415319239641...[注 4] (442.5613782368157...°) ... 当x轴为角度时: -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...° |
k是一个整数。 |
正割(Secant,)是三角函数的一种。它的定义域是不含(或180°k+90°,其中为整数)的整个实数集,值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数,其最小正周期为(360°)。
正割是三角函数的正函数(正弦、正切、正割、正矢)之一,所以在(360°k)到(360°k+90°)的区间之间,函数是递增的,另外正割函数和余弦函数互为倒数。
在单位圆上,正割函数位于割线上,因此将此函数命名为正割函数。
和其他三角函数一样,正割函数一样可以扩展到复数。
符号史
正割的数学符号为 ,出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。
定义
直角三角形中
在直角三角形中,一个锐角 的正割定义为它的斜边与邻边的比值,也就是:
可以发现其定义和余弦函数互为倒数。
直角坐标系中
设 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角, 是角的终边上一点, 是P到原点O的距离,则 的正割定义为:
单位圆定义
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角 ,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于 (360°)或小于 (-360°)的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正割变成了周期为 (360°)的周期函数:
对于任何角度 和任何整数 。
与其他函数定义
正割函数和余弦函数互为倒数
即:[1]
级数定义
正割也能使用泰勒级数来定义:
- 。
微分方程定义
指数定义
恒等式
和差角公式
巴罗的正割积分
艾萨克·巴罗在1670年提出正割的积分
注释
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).