正割

正割
Sec.svg
性质
奇偶性
定义域
到达域
周期
(360°)
特定值
当x=0 1
当x=+∞ N/A
当x=-∞ N/A
最大值 +∞
最小值 -∞
其他性质
渐近线
x=180°k+90°
无实根
临界点
180°k
拐点
180°k-90°
不动点 当x轴为弧度时:
-2.07393280909121...[注 1]
(-118.827596954637699...°)
-4.487669603341...[注 2]
(-257.12452812059255...°)
4.9171859252871...[注 3]
(281.734000600083215...°)
7.72415319239641...[注 4]
(442.5613782368157...°)
...
当x轴为角度时:
-90.6321919494646472...°
-269.787625875998245...°
89.358798727133722...°
270.212040552238203...°
k是一个整数

正割(Secant,)是三角函数的一种。它的定义域是不含(或180°k+90°,其中为整数)的整个实数集值域绝对值大于等于实数。它是周期函数,其最小正周期(360°)。

正割三角函数的正函数(正弦正切正割正矢)之一,所以在360°k)到360°k+90°)的区间之间,函数是递增的,另外正割函数和余弦函数互为倒数

单位圆上,正割函数位于割线上,因此将此函数命名为正割函数。

和其他三角函数一样,正割函数一样可以扩展到复数

符号史

正割的数学符号为 ,出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

 
直角三角形, 为直角, 的角度为  , 对于 而言,a为对边、b为邻边、c为斜边

直角三角形中,一个锐角 正割定义为它的斜边与邻边的比值,也就是:

 

可以发现其定义和余弦函数互为倒数

直角坐标系中

 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角 是角的终边上一点, 是P到原点O的距离,则 的正割定义为:

 

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点线,同x轴正半部分得到一个角 ,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 (360°)或小于 (-360°)的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正割变成了周期为 (360°)的周期函数

 

对于任何角度 和任何整数 

与其他函数定义

正割函数余弦函数互为倒数

即:[1]

 

级数定义

正割也能使用泰勒级数来定义:

 

微分方程定义

 
 

指数定义

 

恒等式

和差角公式

 

巴罗的正割积分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的积分

 

注释

  1. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语). 
  2. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语). 
  3. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语). 
  4. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语). 

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Secant. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 

参见