笛卡尔坐标系

法国数学家、哲学家勒内·笛卡尔于1637年在《几何》（La Géométrie）中发表了关于笛卡尔坐标系的研究。皮埃尔·德·费马也独立地发现了这种坐标系，包括三维坐标系，但没有发表。^[1]早在笛卡尔和费马的时代近300年之前，法国主教尼克尔·奥里斯姆就使用了和笛卡尔坐标系类似的构造。^[2]

笛卡尔和费马的坐标系中都仅含一根坐标轴。在1649年Frans van Schooten及其学生将《几何》译成拉丁文时，为阐释其中的一些想法而引入了一些概念，包括第二根坐标轴。^[3]

笛卡尔坐标系支撑了艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨发明的微积分。^[4]后人把用二维坐标描述平面的方法扩展成了向量空间的概念。^[5]

在笛卡尔坐标系之后，人们又创造了更多的坐标系，如平面的极坐标系，以及三维空间的球坐标系和圆柱坐标系。

二维坐标系统

二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和 y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O，既有“零”的意思，又是法语“Origine”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡尔平面。通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地，x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照镜子时左右对调的性质有关。

为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为${\displaystyle (x,\ y)}$ 。

任何一个点P在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点P的x-坐标。同样地，可以找到点P的y-坐标。这样，我们可以得到点P的直角坐标。

三维坐标系统

直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension)。在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于x-轴，y-轴的坐标轴，称为z-轴。假若，这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。这z-轴与x-轴，y-轴相互正交于原点。在三维空间的任何一点P，可以用直角坐标${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 来表达其位置。

平面直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为${\displaystyle I\ (+,\ +)}$ ，${\displaystyle II\ (-,\ +)}$ ，${\displaystyle III\ (-,\ -)}$ ，${\displaystyle IV\ (+,\ -)}$ 。依照惯例，象限${\displaystyle I}$ 的两个坐标都是正值；象限${\displaystyle II}$ 的x-坐标是负值，y-坐标是正值；象限${\displaystyle III}$ 的两个坐标都是负值的；象限${\displaystyle IV}$ 的x-坐标是正值，y-坐标是负值。所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限${\displaystyle I}$ 编到象限${\displaystyle IV}$ 。

三维直角坐标系的三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant)。通常只有第一卦限有明确的编号，其余卦限的顺序都可能因习惯而不同。第一卦限（${\displaystyle I}$ ）中每一个点的三个坐标都是正值的。

在两点间的距离

在平面上笛卡尔坐标为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 和${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 的两个点之间的欧几里得距离是：

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$ 

这是毕达哥拉斯定理的笛卡尔坐标版本。在三维空间中，在点${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ 和${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ 之间的距离是：

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$ 

它可用毕达哥拉斯定理的两次连贯应用而得到^[6]。

欧几里得变换

欧几里得变换或欧几里得移动是欧几里得平面的点集到同一平面上点集的（双射）映射，它保持诸点之间的距离。这种映射（也叫等距映射）有四种类型：平移、旋转、反射和滑移反射^[7]。

平移

平移平面上的一个点集，保持在它们之间的距离，等价于在点集中所有的笛卡尔坐标上增加固定的一对数值(a, b)。就是说，如果所有点的初始坐标是(x, y)，在平移之后它们的坐标将是：

${\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}$ 

旋转

要绕原点逆时针旋转一个图形${\displaystyle \theta }$ 度，等价于将所有点的坐标为${\displaystyle (x,y)}$ 替代为坐标${\displaystyle (x',y')}$ ，这里有：

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$ 

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta .}$ 

因此：

${\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}$ 

反射

设一个点的笛卡尔坐标是${\displaystyle (x,y)}$ ，则${\displaystyle (-x,y)}$ 是它跨第二坐标轴（y轴）的反射的坐标，如同这个线是个镜子。类似的，${\displaystyle (x,-y)}$ 是它的跨第一个坐标轴（x轴）的反射的坐标。一般的说，跨过原点与x轴夹角为${\displaystyle \theta }$ 的直线的反射，等价于将所有点的坐标${\displaystyle (x,y)}$ 替代为坐标${\displaystyle (x',y')}$ ，这里有：

${\displaystyle x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta }$ 

${\displaystyle y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .}$ 

因此：

${\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}$ 

滑移反射

滑移反射是跨一个直线的反射和随后在这个直线方向上的平移的复合。可以看出这些运算的次序是无关紧要的（也可以先平移后反射）。

变换的一般矩阵形式

这些平面的欧几里得变换可以使用矩阵以一致的方式来描述。对一个点${\displaystyle (x,y)}$ 应用欧几里得变换的结果${\displaystyle (x',y')}$ 给出为公式：

${\displaystyle (x',y')=(x,y)A+b}$ 

这里的A是一个2×2正交矩阵，而${\displaystyle b=(b_{1},b_{2})}$ 是任意的数值有序对^[8]；也就是：

${\displaystyle x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}$ 

${\displaystyle y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}$ 

这里的

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.}$  [注意对点坐标使用行向量则矩阵要写在右侧。]

将是正交的，矩阵${\displaystyle A}$ 必须有正交的有欧几里得长度1的行，就是：

${\displaystyle A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0}$ 

并且：

${\displaystyle A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.}$ 

这等价于说${\displaystyle A}$ 乘以它的转置矩阵必须是单位矩阵。如果这些条件不成立，则公式描述的是这个平面的更一般的仿射变换，假如${\displaystyle A}$ 的行列式不是零的话。

公式定义了平移，当且仅当${\displaystyle A}$ 是单位矩阵。变换是绕某个点的旋转，当且仅当${\displaystyle A}$ 是旋转矩阵，这意味着：

${\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.}$ 

要得到反射或滑移反射需要：

${\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.}$ 

假定不使用平移，变换可以通过简单将有关的变换矩阵相乘来组合起来。

仿射变换

表示笛卡尔坐标的坐标变换的另一种方式是通过仿射变换。在仿射变换中，增加了一个额外维度而所有点对这个额外维度给出数值1。这么做的好处是点平移可以在矩阵A的最后列中指定。在这种方式下，所有欧几里得变换都可处理成矩阵点乘法。仿射变换给出为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}$  [注意来自上式的矩阵A是转置的。矩阵在左侧并对点坐标使用列向量。]

使用仿射变换，多个包括平移的不同欧几里得变换，可以简单的通过把它们对应的矩阵相乘而组合起来。

缩放

仿射变换的不是欧几里得移动的一个例子是缩放。要使一个图形变大或变小，等价于对所有点的笛卡尔坐标乘以同一个正数${\displaystyle m}$ 。如果最初图形的点的笛卡尔坐标是${\displaystyle (x,y)}$ ，缩放后的图形的对应点有坐标：

${\displaystyle (x',y')=(mx,my).}$ 

如果${\displaystyle m}$ 大于1，图形变大；如果${\displaystyle m}$ 在0与1之间，图形变小。

错切

错切变换将平压矩形的对边从而形成平行四边形。水平错切定义为：

${\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}$ 

垂直错切定义为：

${\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}$ 

二维空间

直角坐标系的x-轴与y-轴必须相互垂直。称包含y-轴的直线为y-线。在二维空间里，当我们设定了x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了y-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在y-线的以原点为共同点的两条半线中，哪一条半线的点的坐标是正值的，哪一条是负值的？任何一种选择决定了xy-平面的取向。

通常，我们选择的取向是，正值的x-轴横地指向右方，正值的y-轴纵地指向上方。这种取向称为正值取向、标准取向或右手取向。

右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从x-轴指向y-轴。

另外一种取向，采用左手定则，专门用来辨认负值取向或左手取向：将一只半握拳的左手放在xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从y-轴指向x-轴。

不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。

三维空间

直角坐标系的x-轴、y-轴与z-轴必须相互垂直。称包含z-轴的直线为z-线。在三维空间里，当我们设定了x-轴、y-轴的位置与方向的同时，我们也设定了z-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在z-线以原点为共同点的两条半线中，哪一条半线的点的坐标是正值的，哪一条是负值的？这两种不同的坐标系统，称为右手坐标系与左手坐标系。右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。

右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直，然后将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指、食指都呈直角关系。则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的x-轴、y-轴与z-轴。同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

左侧示意图展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。因为我们用二维画面来展示三维物体，会造成扭曲或模棱两可的图形。指向下方与右方的轴，也有指向读者的意思；而位置居于中间的轴，也有指向读者正在看的方向的意思。平行于xy-平面的红色圆形曲箭，其红色箭头从z-轴前面经过，表示从x-轴往y-轴的旋转方向。

采用直角坐标系，在三维空间里，任何一点P都可以用向量来表示。我们可以想像向量为一支羽箭，其箭尾在原点，箭锋在点P。假若点P的向量是${\displaystyle \mathbf {r} }$ ，直角坐标是${\displaystyle (x,y,z)}$ 。那么，

${\displaystyle \mathbf {r} =x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }}}$ ；

其中，单位向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$ ，${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$ 与${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ 分别指向x-轴，y-轴，与z-轴指向的正无穷值方向。

• 广义坐标
• 正则坐标
• 坐标系
• 正交坐标系

• Descartes, René. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.
• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 656.   引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: pp. 55–79. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 94.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Moon P, Spencer DE. Rectangular Coordinates (x, y, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• 直角坐标系 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 直角坐标图的印表 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 直角坐標系. PlanetMath. 
• 埃里克·韦斯坦因. 直角坐標系. MathWorld.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）