在三维空间中,旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ,则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ),这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵,得出只用三个实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。
旋转
主条目:Tait-Bryan角
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转,它们的生成元很容易表达。
- 这里的 是 roll 角,和右手螺旋的方向相同(在yz平面逆时针)。
- 这里的 是 pitch 角,和右手螺旋的方向相同(在zx平面逆时针)。
- 这里的 是 yaw 角,和右手螺旋的方向相同(在xy平面逆时针)。
在飞行动力学中,roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 , , 和 ;但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 , 和 。
任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 , , 和 来刻画,并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。
- 是在 中的旋转矩阵
在 中所有旋转的集合,加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。
角-轴表示和四元数表示
在三维中,旋转可以通过单一的旋转角 和所围绕的单位向量方向 来定义。
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这个旋转可以简单的以生成元来表达:
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在运算于向量 r 上的时候,这等价于Rodrigues旋转公式:
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角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角,四元数可以给出为正规化四元数 Q:
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这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。
欧拉角表示
在三维空间中,旋转可以通过三个欧拉角 来定义。有一些可能的欧拉角定义,每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "x-y-z" 欧拉角,在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:
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进行乘法运算生成:
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对称保持 SVD 表示
对旋转轴 和旋转角 ,旋转矩阵
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这里的 的纵列张开正交于 的空间而 是 度 Givens 旋转,就是说
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