欧拉角

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系（固定系）又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系（固连系）则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。

参阅右图。设xyz轴为参考系的参考轴，XYZ轴为物体自身的坐标轴，xoy平面与XOY平面的相交线为交点线，用（N）表示。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义：

• ${\displaystyle \alpha }$ （进动角）是x-轴与交点线的夹角，
• ${\displaystyle \beta }$ （章动角）是z-轴与Z-轴的夹角，
• ${\displaystyle \gamma }$ （自旋角）是交点线与X-轴的夹角。

对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。

实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

角值范围

• ${\displaystyle \alpha }$ 、${\displaystyle \gamma }$ 值的范围为${\displaystyle [0,2\pi )}$ 弧度。
• ${\displaystyle \beta }$ 值的范围为${\displaystyle [0,\pi ]}$ 弧度。

一般情况下，对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的。

然而，当${\displaystyle \beta =0}$ 或${\displaystyle \pi }$ 时，会出现环架锁定现象。具体而言：

• 当${\displaystyle \beta =0}$ 时，${\displaystyle \alpha }$ 与${\displaystyle \gamma }$ 之和（在模${\displaystyle 2\pi }$ 意义下）相等的欧拉角对应同一个取向，如${\displaystyle ({\frac {\pi }{2}},0,0)}$ ，${\displaystyle ({\frac {\pi }{3}},0,{\frac {\pi }{6}})}$ 和${\displaystyle ({\frac {4\pi }{3}},0,{\frac {7\pi }{6}})}$ 对应的取向相同
• 当${\displaystyle \beta =\pi }$ 时，${\displaystyle \alpha }$ 与${\displaystyle \gamma }$ 之差相等的欧拉角对应同一个取向，如${\displaystyle ({\frac {\pi }{2}},\pi ,0)}$ 和${\displaystyle (\pi ,\pi ,{\frac {\pi }{2}})}$ 对应的取向相同

旋转矩阵

前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵${\displaystyle [\mathbf {R} ]}$ 是由三个基本旋转矩阵合成的：

${\displaystyle [\mathbf {R} ]={\begin{bmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

从右到左依次代表绕着x轴的旋转 (${\displaystyle \alpha }$ )、绕着交点线的旋转(${\displaystyle \beta }$ )、绕着z轴的旋转(${\displaystyle \gamma }$ )。

经过一番运算,

${\displaystyle [\mathbf {R} ]={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \cos \gamma \\\sin \beta \sin \alpha &-\sin \beta \cos \alpha &\cos \beta \end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle [\mathbf {R} ]}$ 的逆矩阵是：

${\displaystyle [\mathbf {R} ]^{-1}={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle [\mathbf {R} ]^{-1}={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \alpha \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &-\sin \beta \cos \alpha \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{bmatrix}}}$ 

注意，${\displaystyle [\mathbf {R} ]}$ 的逆矩阵 (反矩阵) 也是 ${\displaystyle [\mathbf {R} ]}$ 的转置矩阵 (Transpose Matrix)，不需要用传统方式去求解其逆矩阵，也不用特别记忆，甚至在撰写电脑算法时也可以不用额外配置内存。这是旋转矩阵 (包括坐标旋转矩阵及向量旋转矩阵) 的特性。这个特性也适用于由连续数个个别旋转矩阵连乘所构成的复合旋转矩阵，如以上的${\displaystyle [\mathbf {R} ]}$ 。

别种顺序

在经典力学里，时常用zxz顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为x顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有12种顺规。例如，y顺规，第二个转动轴是y-轴，时常用在量子力学、核子物理学、粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz顺规，是用在航空航天工程学；参阅泰特-布莱恩角（英语：Tait-Bryan angles）。

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述, XYZ坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而xyz坐标轴是静止不动的实验室参考轴。

• A)绕着XYZ坐标轴旋转：最初，两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着Z-轴旋转${\displaystyle \alpha \,}$ 角值。然后，绕着X-轴旋转${\displaystyle \beta \,}$ 角值。最后，绕着Z-轴作角值${\displaystyle \gamma \,}$ 的旋转。

• B)绕着xyz坐标轴旋转：最初，两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着z-轴旋转${\displaystyle \gamma \,}$ 角值。然后，绕着x-轴旋转${\displaystyle \beta \,}$ 角值。最后，绕着z-轴作角值${\displaystyle \alpha \,}$ 的旋转。

参阅欧拉角图，定义A与静态定义的相等，这可以直接用几何制图方法来核对。

定义A与定义B的相等可以用旋转矩阵来证明：

思考任何一点${\displaystyle P_{1}\,}$ ，在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$ 与${\displaystyle \mathbf {R} _{1}\,}$ 。定义角算符${\displaystyle Z(\alpha )\,}$ 为绕着Z-轴旋转${\displaystyle \alpha \,}$ 角值。那么，定义A可以表述如下：

${\displaystyle \mathbf {R} _{1}=Z(\gamma )\circ X(\beta )\circ Z(\alpha )\circ \mathbf {r} _{1}\,}$ 。

用旋转矩阵表示,

${\displaystyle Z(\alpha )={\begin{bmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}$ ，

${\displaystyle X(\beta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}\,}$ ，

${\displaystyle Z(\gamma )={\begin{bmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}$ 。

思考任何一点${\displaystyle P_{2}\,}$ ，在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$ 与${\displaystyle \mathbf {R} _{2}\,}$ 。定义角算符${\displaystyle z(\alpha )\,}$ 为绕着z-轴旋转${\displaystyle \alpha \,}$ 角值。则定义B可以表述如下：

${\displaystyle \mathbf {r} _{2}=z(\alpha )\circ x(\beta )\circ z(\gamma )\circ \mathbf {R} _{2}\,}$ 。

用旋转矩阵表示,

${\displaystyle z(\alpha )={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}$ ，

${\displaystyle x(\beta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}\,}$ ，

${\displaystyle z(\gamma )={\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}$ 。

假设，${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=\mathbf {r} _{2}\,}$  ．那么，

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=z(\alpha )\circ x(\beta )\circ z(\gamma )\circ \mathbf {R} _{2}\,}$ 。

乘以逆算符，

${\displaystyle z^{-1}(\gamma )\circ x^{-1}(\beta )\circ z^{-1}(\alpha )\circ \mathbf {r} _{1}=z^{-1}(\gamma )\circ x^{-1}(\beta )\circ z^{-1}(\alpha )\circ z(\alpha )\circ x(\beta )\circ z(\gamma )\circ \mathbf {R} _{2}\,}$ 。

但是，从旋转矩阵可以观察出，

${\displaystyle z^{-1}(\alpha )=Z(\alpha )\,}$ ，

${\displaystyle x^{-1}(\beta )=X(\beta )\,}$ ，

${\displaystyle z^{-1}(\gamma )=Z(\gamma )\,}$ 。

所以，

${\displaystyle Z(\gamma )\circ X(\beta )\circ Z(\alpha )\circ \mathbf {r} _{1}=\mathbf {R} _{2}\,}$ ，

${\displaystyle \mathbf {R} _{1}=\mathbf {R} _{2}\,}$ 。

定义A与定义B是相等的。

欧拉角在SO(3)上，形成了一个坐标卡 (chart)；SO(3)是在三维空间里的旋转的特殊正交群。这坐标卡是平滑的，除了一个极坐标式的奇点在${\displaystyle \beta =0}$ 　。

类似的三个角的分解也可以应用到SU(2)；复数二维空间里旋转的特殊酉群；这里，${\displaystyle \beta }$ 值在 0 与${\displaystyle 2\pi }$ 之间。这些角也称为欧拉角。

欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。

在刚体的问题上, xyz坐标系是全域坐标系，XYZ坐标系是局域坐标系。全域坐标系是不动的；而局域坐标系牢嵌于刚体内。关于动能的演算，通常用局域坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。

在量子力学里，详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的，并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest)，物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。

欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式${\displaystyle \sin \beta \ d\alpha d\beta d\gamma }$ 通常在前面添上归一化因子${\displaystyle 1/8\pi ^{2}}$ 。例如，我们要生成均匀随机取向，使${\displaystyle \alpha }$ 、${\displaystyle \gamma }$ 从${\displaystyle 0}$ 至${\displaystyle 2\pi }$ 分别均匀的选随机值；使${\displaystyle \beta =\arccos(z)}$ ，${\displaystyle z}$ 从${\displaystyle -1}$ 至${\displaystyle 1}$ 均匀的选随机值。

单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向锁现象。因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。

• 欧拉运动定律
• 欧拉旋转定理
• 旋转矩阵
• 四元数
• 轴角
• 球坐标系

• L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.
• Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
• Andrew Gray, A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, MacMillan, London, 1918.
• M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley, New York, NY, 1957.
• Symon, Keith. Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. 1971.  
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1997. ISBN 0-750-62896-0.  引文使用过时参数coauthors (帮助)

• MathWorld关于各种欧拉角常规的详细讨论 （页面存档备份，存于互联网档案馆）