欧拉旋转定理

旋转生成元

假设单位向量 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$  是旋转的瞬时固定轴，绕着这固定轴，旋转微小角值 ${\displaystyle \Delta \theta \,\!}$  ，则取至 ${\displaystyle \Delta \theta \,\!}$  的一次方，旋转矩阵可以表达为：

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta \,\!}$  。

绕着固定轴做一个 ${\displaystyle \theta \,\!}$  角值的旋转，可以被视为许多绕着同样固定轴的接连不断的微小旋转，每一个小旋转的角值为 ${\displaystyle \Delta \theta =\theta /N\,\!}$  。让 ${\displaystyle N\,\!}$  趋向无穷大，则绕着固定轴 ${\displaystyle \theta \,\!}$  角值的旋转，可以表达为

${\displaystyle R=\lim _{N\to \infty }\ \left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}=e^{\mathbf {A} \theta }\,\!}$  。

欧拉旋转定理基要地阐明，所有的旋转都能以这形式来表达。乘积 ${\displaystyle \mathbf {A} \theta \,\!}$  是这个旋转的生成元。用生成元来分析，而不用整个旋转矩阵，通常是较简易的方法。用生成元来分析的学术领域，称为旋转群的李代数。

四元数

根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征向量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。

如上所描述的四元数，并不介入复数。如果四元数被用来描述二个连续的旋转，则必须使用由威廉·哈密顿提出的非交换四元数代数以复数来计算。

在航空学应用方面，通过四元数方法来计算旋转，已经替代了方向余弦方法，这是因为它能减少所需的工作，和它能减小舍入误差。在计算机图形学里，四元数与四元数之间，简易执行插值的能力是很有价值的。

• 欧拉角
• 欧拉运动定律
• 旋转运动表述