方向余弦

通常，整个刚体的空间位形可以简易地以以下参数设定：

1. 刚体的“位置”：挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，通常会设定物体的质心或形心为这一点。从空间参考系S观测，点G的位置就是整个刚体在空间的位置。表示位置可以应用向量的概念。向量的起点为参考系S的原点，终点为点G。设定刚体的位置需要三个坐标，例如，采用直角坐标系，这三个坐标为x-坐标、y-坐标、z-坐标。这用掉了三个自由度。
2. 刚体的取向：描述刚体取向的方法有好几种，包括方向余弦、欧拉角、四元数等等。这些方法设定一个附体参考系B的取向（相对于空间参考系S）。附体参考系是固定于刚体的参考系。相对于刚体，附体参考系的取向固定不变。由于刚体可能会呈加速度运动，所以附体参考系可能不是惯性参考系。空间参考系是某设定惯性参考系，例如，在观测飞机的飞行运动时，附着于飞机场控制塔的参考系可以设定为空间参考系，而附着于飞机的参考系则可设定为附体参考系。刚体的取向需要用到另外三个自由度。

方向余弦方法可以用来设定附体参考系B的取向，即刚体的取向。假设沿着参考系S的坐标轴的三个单位向量分别为 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$  ，沿着参考系B的坐标轴的三个单位向量分别为 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$  。定义 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$  与${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$  之间的方向余弦 ${\displaystyle a_{ij}}$  为

${\displaystyle a_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ \cos {(\theta _{ij})}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$  ；

其中，${\displaystyle \theta _{ij}}$  是 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$  与 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$  之间的夹角。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$  与 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$  之间的关系分别为

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}=\cos {(\theta _{11})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{12})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{13})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{11}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{12}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{13}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$  、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}=\cos {(\theta _{21})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{22})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{23})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{21}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{22}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{23}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$  、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\cos {(\theta _{31})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{32})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{33})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{31}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{32}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{33}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$  。

两个参考系的坐标轴所形成的矩阵称为“方向余弦矩阵” ${\displaystyle A}$  ：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$  。

采用爱因斯坦求和约定，由于 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$  ，给定方向余弦矩阵 ${\displaystyle A}$  ，则可设定附体参考系B的取向，也就是刚体的取向。

反过来，经过一番运算，可以得到 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$  。

给定位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 

${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+x_{2}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+x_{3}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=e_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+e_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+e_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$  ，

则 ${\displaystyle \mathbf {r} }$  与 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$  的内积为

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}=e_{i}=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}=a_{ij}x_{j}}$  。

方向余弦矩阵 ${\displaystyle A}$  可以将从空间参考系S观测的位置坐标 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$  ，变换为从附体参考系B观测的位置坐标 ${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$  ，因此又称为“变换矩阵”。

变换矩阵 ${\displaystyle A}$  也可以做反变换如下：

${\displaystyle x_{j}=a_{ij}e_{i}}$  。

变换矩阵 ${\displaystyle A}$  是一种正交矩阵，满足“正交条件”

${\displaystyle a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk}}$  ；

其中，${\displaystyle \delta _{jk}}$  是克罗内克函数。

注意到 ${\displaystyle \theta _{ij}}$  与 ${\displaystyle \theta _{ji}}$  不同，夹角 ${\displaystyle \theta _{ji}}$  是${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$  与空间参考系S的坐标轴单位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$  之间的夹角。变换矩阵 ${\displaystyle A}$  通常不是对称矩阵。

变换矩阵 ${\displaystyle A}$  可以视为旋转矩阵。例如，将附体参考系B或刚体旋转，从 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$  旋转 ${\displaystyle \theta }$  角弧成为 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{1}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{2}}$  、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{3}}$  ；其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}={\hat {\mathbf {e} }}'_{3}}$  。对于这旋转，旋转矩阵 ${\displaystyle A}$  为

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }&0\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$  。

参考轴 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}}$  与 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$  之间的关系为

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$  。

旋转矩阵 ${\displaystyle A}$  也可以视为将点P的位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$  旋转 ${\displaystyle -\theta }$  角弧成为点P'的位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} '=x'_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$  ：

${\displaystyle x'_{i}=a_{ij}x_{j}}$  。

• Tang, K. T. Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2. Springer. 2006: 13. ISBN 3540302689.