圆柱坐标系

如图右，P 点的圆柱坐标是 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$  。

• ${\displaystyle \rho }$  是 P 点与 z-轴的垂直距离。
• ${\displaystyle \phi }$  是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角。
• ${\displaystyle z}$  与直角坐标的 ${\displaystyle z}$  等值。

圆柱坐标系的记号并不统一。ISO标准31-11推荐(ρ, φ, z)，这里的ρ是径向距离，φ是方位角，而z是高度。但是，径向距离也常表示为r或s，方位角也常表示为θ或t，高度坐标也常表示为h或x(如果圆柱轴被认为是水平的）或任何特定于上下文的字母。

三维空间里，有许多各种各样的坐标系。圆柱坐标系只是其中一种。圆柱坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。

直角坐标系

使用以下方程式，可以从直角坐标变换为圆柱坐标：

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$  、

${\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$  、

${\displaystyle z=z}$  。

特别注意，当求取方位角时，必须依照 ${\displaystyle (x,\ y)}$  所处的象限来计算正确的反正切值。

相反地, 可以从圆柱坐标变换为直角坐标：

${\displaystyle x=\rho \cos \phi }$  、

${\displaystyle y=\rho \sin \phi }$  、

${\displaystyle z=z}$  。

球坐标系

使用以下方程式，可以从球坐标变换为圆柱坐标：

${\displaystyle \rho =r\sin \theta }$ 、

${\displaystyle \phi =\phi }$  、

${\displaystyle z=r\cos \theta }$  。

相反地, 可以从圆柱坐标变换为球坐标：

${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$  、

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\rho }{z}}}$  、

${\displaystyle \phi =\phi }$  。

圆柱坐标系的坐标因子分别为

${\displaystyle h_{\rho }=1}$  、

${\displaystyle h_{\phi }=\rho }$  、

${\displaystyle h_{z}=1}$  。

在许多关于圆柱坐标系的问题中，我们时常需要知道线元素与体积元素的方程式；用这些方程式来求解关于径长或体积的积分问题。线元素是

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} }$  。

面积元素是

${\displaystyle \mathrm {d} S=\rho \,d\varphi \,dz}$  。

体积元素是

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z}$  。

劈形算符表示为

${\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\mathbf {\hat {z}} {\frac {\partial }{\partial z}}}$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial \Phi \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}}$  。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$  坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

圆柱坐标常被用来分析，选用 z-轴为对称轴，有轴对称特性的物体。例如，一个无限长的圆柱，具有直角坐标方程式 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}}$ ；用圆柱坐标来表示，有一个非常简易的方程式 ${\displaystyle \rho =c}$ 。这也是圆柱坐标系名称的由来。

• 在圆柱和球坐标系中的del