Cis函数
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在微积分学中,cis函数又称纯虚数指数函数,是复变函数的一种,和三角函数类似,其可以使用正弦函数和余弦函数来定义,是一种实变数复数值函数,其中为虚数单位,而cis则为cos + i sin的缩写。
性质 | |
奇偶性 | N/A |
定义域 | (-∞,∞) |
到达域 | |
周期 | 2π |
特定值 | |
当x=0 | 1 |
当x=+∞ | N/A |
当x=-∞ | N/A |
最大值 | 复数无法比大小 |
最小值 | 复数无法比大小 |
其他性质 | |
渐近线 | N/A |
根 | N/A |
临界点 | N/A |
拐点 | kπ |
不动点 | 0 |
k是一个整数. |
概观
cis函数是欧拉公式等号右侧的所形的组合函数简写:
其中i表示虚数单位 。因此
cis符号最早由威廉·哈密顿在他于1866出版的《Elements of Quaternions》中使用[4],而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 [5][6] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符号 [6][7] ,其利用欧拉公式将三角函数与复平面的指数函数连结起来。
cis函数主要的功能为简化某些数学表达式,透过cis函数可以使部分数学式能更简便地表达[4][5][8],例如傅里叶变换和哈特利变换的结合[9][10][11],以及应用在教学上时,因某些因素(如课程安排或课纲需求)因故不能使用指数来表达数学式时,cis函数就能派上用场。
性质
cis函数的定义域是整个实数集,值域是单位复数,绝对值为1的复数。它是周期函数,其最小正周期为 。其图像关于原点对称。
上述文字称它以类似三角函数的形式来定义函数的原因是,就如同三角函数,他也算是一种比值,复数和其模的比值:
- ,其中 是辐角为 的复数
因此,当一复数的模为1,其反函数就是辐角(arg函数)。
函数可视为求单位复数的函数。
函数的实数部分和余弦函数相同。
微分
积分
其他性质
根据欧拉公式,cis函数有以下性质:
上述性质是当 与 都是复数时成立。在 与 都是实数时,有以下不等式:
命名
由于 函数的值为“余弦加上虚数单位倍的正弦”,取其英文缩写cosine and imaginary unit sine,故以 来表示该函数。
欧拉公式
在数学上,为了简化欧拉公式 ,因此将欧拉公式以类似三角函数的形式来定义函数,给出了cis函数的定义[1][9][8][2][14][10][11][15]:
并且一般定义域为 ,值域为 。
棣莫弗公式
在数学上,为了方便起见,可以将棣莫弗公式写成以下形式:
指数定义
反函数
的反函数: ,当代入模为1的复数时,所得的值是其辐角
类似其他三角函数, 的反函数也可以用自然对数来表示
当一复数经过符号函数后代入 可得辐角。
恒等式
函数的倍角公式似乎比三角函数简单许多
半形公式
倍角公式
幂简约公式
相关函数
余cis函数
就如同三角函数,我们可以令: ,其可用于诱导公式来化简某些特定的 函数的式子。
至于指数定义,经过正弦和余弦的指数定义得:
有恒等式:
双曲cis函数
cish函数( )在几何意义上与cis函数对应的双曲函数不同。在双曲几何中,与欧几里得几何对应cis函数应为:
然而当中的 若定义为负一的平方根,则其会变为[17]:
- 双曲复数
在一般的情况下,cis函数对应的双曲函数定义域和值域皆为实数,但若定义双曲复数,考虑数 ,其中 是实数,而量 不是实数,但 是实数。选取 ,得到一般复数。取 的话,便得到双曲复数。
其中j为双曲复数。
因此双曲cis函数得到的值为双曲复数,相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。
如此一来,值域将会变成分裂四元数。
cas函数
cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一个函数,为雷夫·赫特利于1942提出,其定义为 ,是一种实变数实值函数,而cas为“cosine-and-sine”的缩写,其表示了实数值的赫特利变换[18][19]:
cas函数存在一些恒等式:
角和公式:
微分:
参见
参考文献
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[…] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]
([1], [2]) - ^ 5.0 5.1 Stringham, Irving. Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891] [2016-01-18].
As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ.
- ^ 6.0 6.1 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, US: Open court publishing company. 1952: 133 [March 1929] [2016-01-18]. ISBN 978-1-60206-714-1. ISBN 1-60206-714-7.
Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley.
(NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.) - ^ Harkness, James; Morley, Frank. Introduction to the Theory of Analytic Functions 1. London, UK: Macmillan and Company. 1898: 18, 22, 48, 52, 170 [2016-01-18]. ISBN 978-1-16407019-1. ISBN 1-16407019-3. (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
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