除法

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数${\displaystyle a}$ 可以被自然数${\displaystyle b}$ 整除，是指${\displaystyle b}$ 是${\displaystyle a}$ 的约数，且a是b的整数倍数，也就是${\displaystyle a}$ 除以${\displaystyle b}$ 没有余数。

${\displaystyle a\div b=q\dots 0}$ 

约数判别法可参照整除规则。

表示法

${\displaystyle b\mid a}$ 表示${\displaystyle b}$ 整除${\displaystyle a}$ ，即${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle b}$ 的倍数，${\displaystyle b}$ 是${\displaystyle a}$ 的因数。

举例

${\displaystyle 15}$ 可以被${\displaystyle 5}$ 整除，记作${\displaystyle 5\mid 15}$ 。

${\displaystyle 20}$ 不能被${\displaystyle 6}$ 整除（因为余数为${\displaystyle 2}$ ），记作${\displaystyle 6\nmid 20}$ 。在${\displaystyle \mid }$ 上加一条斜线即表示不整除。

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

长除法

长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。

使用长除法计算${\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}$ 的过程可以表示为：

${\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}$ 

短除法

短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。

• 使用短除法计算${\displaystyle 3\div 7}$ 的近似值：

${\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}$ 

• 使用短除法计算${\displaystyle 420}$ 的素因数分解：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}$ 

${\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}$ 

• 使用短除法计算${\displaystyle 420,270}$ 的最大公约数及最小公倍数：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}$ 

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式${\displaystyle A}$ 和非零多项式${\displaystyle B}$ ，则存在唯一的多项式${\displaystyle Q}$ 和${\displaystyle R}$ ，满足：

${\displaystyle A=BQ+R}$ 

而多项式${\displaystyle R}$ 若非零多项式，则其幂次严格小于${\displaystyle B}$ 的幂次。

作为特例，如果要计算某个多项式${\displaystyle P}$ 除以一次多项式${\displaystyle X-a}$ 得到的余多项式，可以直接将${\displaystyle a}$ 代入到多项式${\displaystyle P}$ 中。${\displaystyle P}$ 除以${\displaystyle X-a}$ 的余多项式是${\displaystyle P(a)}$ 。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算${\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}$ 除以${\displaystyle X-3}$ ，列式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$ 

因此，商式是${\displaystyle \ X^{2}-9X-27}$ ，余式是${\displaystyle \ -123}$ 。

通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时，该式或该数无意义。

• 筹算除法
• 同余
• 余数
• 带余除法