整除规则

• 0----所有非0的整数之倍数。
• ±1----所有整数之因数。

因为 2 和 5 都是 10 的因数，故在十进制下判别是否有${\displaystyle 2^{k}}$ 或${\displaystyle 5^{k}}$ 的因数只需取其最后k位，除以${\displaystyle 2^{k}}$ 或${\displaystyle 5^{k}}$ ，可除尽即是：

• ±2：所有偶数（0,2,4,6,8结尾）皆有此因数。如：2、-6、989896、11111112、-454
• ±4：最后两位数可以被 4 除尽，即是。如：9898989898540→40/4=10
• ±8：若最后三位数可以被 8 除尽，即是。如：8000、1256000、95872
• ±5：查看最后一位数。如果可以被 5 除尽（为 0 或 5），即是。如：5454545、45454500、50
• ±10：看最后一位数为 0（即末两位为 10 的整倍数）即是。如：530,73500,50
• ±${\displaystyle 2^{n}}$ ：最后n位数可以被 ${\displaystyle 2^{n}}$  除尽。
• ±${\displaystyle 5^{n}}$ ：最后n位数可以被 ${\displaystyle 5^{n}}$  除尽。
• ±${\displaystyle 10^{n}}$ ：最后n位数字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数：
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {2^{k}}}}$ 
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {5^{k}}}}$ 
${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {10^{k}}}}$ 

甚至非十进制下也是一样。例如十二进制：2、3、4、6 都是 12 的因数，故某数的末 k 位除以 ${\displaystyle 2^{k}}$ 、${\displaystyle 3^{k}}$ 、${\displaystyle 4^{k}}$ 、${\displaystyle 6^{k}}$ ，所得余数与原数同余。

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {3}}}$ 

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {9}}}$ 

• ±3----所有位数加起来为3的倍数，即是。如：69255 → (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/3 = 27/3 = 9
• ±9----所有位数加起来为9的倍数，即是。如：69255→(6 + 9 + 2 + 5 + 5)/9 = 27/9 = 3

注意到我们现在是在十进制下做运算，而 9=10-1。事实上对于任意 ${\displaystyle p}$  进制下的非负整数除法，当除数是 ${\displaystyle p-1}$  时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明：

1. 对于被除数为零的情况，命题是平凡的。
2. 在任何 ${\displaystyle p}$  进制下，首先考虑一个仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成 ${\displaystyle dp^{i}}$ ，其中 ${\displaystyle d}$  是最高位（第 ${\displaystyle i}$  位）数字、${\displaystyle 1\leq d\leq p-1}$ ，而 ${\displaystyle p^{i}}$  表示后面有 ${\displaystyle i}$  个零。（${\displaystyle p}$  进制逢 ${\displaystyle p}$  进一，${\displaystyle p}$  的 ${\displaystyle i}$  次方自然是 ${\displaystyle 1}$  后面 ${\displaystyle i}$  个零。）
3. 那么 ${\displaystyle dp^{i}=dp^{i-1}p}$ ，除以 ${\displaystyle p-1}$  得 ${\displaystyle {\frac {dp^{i-1}p}{p-1}}={\frac {dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}}{p-1}}}$ ，前项显然整除，故 ${\displaystyle dp^{i}=dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}\equiv dp^{i-1}{\pmod {p-1}}}$ ，推论得 ${\displaystyle dp^{i}\equiv dp^{0}=d{\pmod {p-1}}}$ 。
   
4. 而任何 ${\displaystyle p}$  进制正整数均可写成 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}d_{i}p^{i}}$  的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}d_{i}}$  同余。证毕。

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {11}}}$ 

• ±11---将其奇数位之和及偶数位之和相减，如果是0,11等11的倍数，即是。如：19866/11→1 + 8 + 6 – (9 + 6)=0

• ±7, ±13---设正整数${\displaystyle a=\sum _{r=0}^{n}1000^{r}a_{r}}$ ，${\displaystyle 1001=7\times 11\times 13}$ ，所以

${\displaystyle a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {7}},a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {13}}}$ 

若a=75312289，则${\displaystyle a=75\times 1000^{2}+312\times 1000+289}$ ，289-312+75=52，a能被13整除，不能被7整除。^[1]

若某整数能整除某合数则某整数必同时整除所有某合数的质因数。

• ±6----同时符合±2（末位是0,2,4,6,8）和±3（相加可除尽）的条件。（因为6=2×3）如：66,7986252,99999996
• ±12---同时符合±4和±3（相加可除尽）的条件。（因为12=${\displaystyle 2^{2}}$ ×3）如：60

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}{\pmod {k}}}$ 

• ±7----将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如：154→49→21→7
• ±13---将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如：156→39→0

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10a_{1}+100\sum _{r=2}^{n}10^{r-2}a_{r}{\pmod {k}}}$ 

• ±23----将十位前的数字乘以15再与末两位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如：207→23
• ±31----将十位前的数字乘以7再与末两位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如：155→62
• ±37----将十位前的数字乘以11再与末两位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如：333→0

若${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}}$ ，且${\displaystyle 10x\equiv 1{\pmod {k}}}$ 

则${\displaystyle a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv xa_{0}+\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}}$ 

• ±7----将个位数乘以2再与个位前的数字相减，得出7的倍数即7的倍数。如：154→7
• ±19---将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如：152→19

• 除法、短除法
• 因数
• 同余