子环
设(R,+,·)为环,若S是R的一个非空子集,且(S,+,·)也是环,则称(S,+,·)为(R,+,·)的子环(subring)。
判定
设(R,+,·)为环,S是R的一个非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子环,当且仅当:[1]
- R的零元也在S里
- ∀a,b∈S, a+b∈S
- ∀a∈S, -a∈S
- ∀a,b∈S, ab∈S
或等价地:
- ∀a,b∈S, a-b∈S
- ∀a,b∈S, ab∈S
也就是说:
- S和+构成一个群
- ∀a,b∈S, ab∈S
如果要求环还包含乘法单位元,那么就要在上述条件加上1∈S这一条。
参考资料
- ^ Frederick Michael Hall. An Introduction to Abstract Algebra. CUP Archive. 1966: 77 [2014-12-28]. (原始内容存档于2019-05-02).