数学中,高斯圆问题(英语:Gauss circle problem)问以原点为中心,为半径的圆内,有多少个整数点。答案与圆的面积相近,因此,真正的问题是如何准确地描述点数与面积的差异。问题得名自数学家卡尔·弗里德里希·高斯。
问题
考虑 中以原点为中心和以 为半径的一个圆。高斯圆问题询问该圆中有多少个点 使 和 都是整数。由于在笛卡尔坐标系中,这个圆的方程式是 ,问题等价于询问有多少对整数 和 使得
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以 表示输入为 时的答案。以下第一行先列出 由 至 时, 的值,第二行列出 四舍五入到最接近的整数,以作比较:
- 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (OEIS数列A000328)
- 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (OEIS数列A075726)
解决方案和猜想的上下界
大概是 ,半径范围内的区域 。这是因为平均而言,每个单位正方形包含一个格子点。因此,圆中格子点的实际数量大约等于其面积, 。因此,应该预期
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对于某些错误项 具有相对较小的绝对值。找到正确的上限 因此是问题采取的形式。注意 不必是整数。后 一个有 在这些地方 之后它减少(以 ),直到下一次增加为止。
高斯设法证明[1]
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谢尔品斯基将指数改进至 ,以大O符号表示,即证明 ,约翰内斯·范德科皮特引进了他关于外尔和的估计,从而证明了指数为 的结果(此数略小于 )。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指数为 与 的上界。[2]
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未解决的数学问题:设 表示以原点为圆心, 为半径的圆,其面积与圆内整点数之差,则使 对一切 皆成立的最小 值为何? |
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下界方面,哈代[3]和Landau分别独立证明
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其中用到小o表示。据推测[4],正确的界线是
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设 总成立,则关于 的最小可能值 ,目前所知的结果是
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其中下界是1915年Hardy和Landau所证,上界于2000年由马丁·赫克斯利证明。[5]
确切形式
的值可以由几个形式给出,例如以下取整函数表示成以下和式: [6]
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这是雅可比二平方和定理的结果,该定理来自雅可比三重积。[7]
如果将平方和函数 定义为将自然数 写为两个整数平方之和的方法数,则 是一个积性函数[8],且可写出较简单的和式:[1]
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Hardy首次发现了以下的最新成果: [9]
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其中 表示第一种阶数为1的贝塞尔函数。
概论
尽管最初的问题要求在一个圆内的整数点个数,但没有理由不考虑其他形状,例如圆锥形。的确,狄利克雷(Dirichlet)的除数问题是用矩形双曲线替换圆的等价问题。同样,可以将问题从二维扩展到更高的维度,并在球体或其他物体中求整数。关于这些问题有大量文献。如果忽略几何学而仅将问题视为Diophantine不等式的代数之一,则可能会增加问题中出现的指数,从平方到立方,甚至更高次方。
原始圆问题
另一个概括是计算互质整数解数量 的不等式
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此问题称为原始圆问题,因为它涉及搜索原始圆问题的原始解。可以直观地理解为在原点的欧几里得果园中可见多少距离为r的树木的问题。如果表示此类解决方案的数量 然后的值 为了 取小整数值是
- 0,4,8,16,32,48,72,88,120,152,192 (OEIS中的数列A175341)
使用与普通的高斯圆问题相同的方法,以及两个整数互质的几率为 ,容易证明
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与普通的圆问题一样,原始圆问题的问题部分在于减少误差项中的指数。如果假设黎曼猜想正确,目前最著名的指数是 。在不假设黎曼猜想正确的情况下,最著名的上限是
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其中 为正常数 。 [10]特别是,目前不假设黎曼猜想正确的情况下,对于任何 , 的误差项没有限制。
笔记
- ^ 1.0 1.1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.
- ^ 王元. 数学大辞典. 高斯圆问题. Ke xue chu ban she. 2017. ISBN 7-03-053336-4. OCLC 1124964888.
- ^ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283.
- ^ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366.
- ^ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR1956254
- ^ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.
- ^ Hirschhorn, Michael D. Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory. The American Mathematical Monthly. 2000, 107 (3): 260–264. Bibcode:10.1.1.28.1615 . JSTOR 2589321. doi:10.2307/2589321.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002654. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Landau, Edmund. Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band. Verlag S. Hirzel. 1927: 189.
- ^ J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.
外部链接