高斯圆问题

数学中,高斯圆问题(英语:Gauss circle problem)问以原点为中心,半径的圆内,有多少个整数点英语Integer lattice。答案与圆的面积相近,因此,真正的问题是如何准确地描述点数与面积的差异。问题得名自数学家卡尔·弗里德里希·高斯

问题

考虑 中以原点为中心和以 为半径的一个圆。高斯圆问题询问该圆中有多少个点 使  都是整数。由于在笛卡尔坐标系中,这个圆的方程式 ,问题等价于询问有多少对整数  使得

 

 表示输入为 时的答案。以下第一行先列出   时, 的值,第二行列出 四舍五入到最接近的整数,以作比较:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (OEIS数列A000328
0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (OEIS数列A075726

解决方案和猜想的上下界

 大概是  ,半径范围内的区域  。这是因为平均而言,每个单位正方形包含一个格子点。因此,圆中格子点的实际数量大约等于其面积,   。因此,应该预期

 

对于某些错误项 具有相对较小的绝对值。找到正确的上限 因此是问题采取的形式。注意 不必是整数。后 一个有 在这些地方 之后它减少(以  ),直到下一次增加为止。

高斯设法证明[1]

 

谢尔品斯基将指数改进至 ,以大O符号表示,即证明 约翰内斯·范德科皮特英语Johannes van der Corput引进了他关于外尔和的估计,从而证明了指数为 的结果(此数略小于 )。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚陈景润分别证得指数为  的上界。[2]

未解决的数学问题 表示以原点为圆心, 为半径的圆,其面积与圆内整点数之差,则使 对一切 皆成立的最小 值为何?  

下界方面,哈代[3]和Landau分别独立证明

 

其中用到小o表示。据推测[4],正确的界线是

 

 总成立,则关于 的最小可能值 ,目前所知的结果是

 

其中下界是1915年Hardy和Landau所证,上界于2000年由马丁·赫克斯利英语Martin Huxley证明。[5]

确切形式

 的值可以由几个形式给出,例如以下取整函数表示成以下和式: [6]

 

这是雅可比二平方和定理英语Sum of two squares theorem的结果,该定理来自雅可比三重积英语Jacobi triple product[7]

如果将平方和函数英语Sum of squares function 定义为将自然数 写为两个整数平方之和的方法数,则 是一个积性函数[8],且可写出较简单的和式:[1]

 

Hardy首次发现了以下的最新成果: [9]

 

其中 表示第一种阶数为1的贝塞尔函数

概论

尽管最初的问题要求在一个圆内的整数点个数,但没有理由不考虑其他形状,例如圆锥形。的确,狄利克雷(Dirichlet)的除数问题是用矩形双曲线替换圆的等价问题。同样,可以将问题从二维扩展到更高的维度,并在球体或其他物体中求整数。关于这些问题有大量文献。如果忽略几何学而仅将问题视为Diophantine不等式的代数之一,则可能会增加问题中出现的指数,从平方立方,甚至更高次方。

原始圆问题

另一个概括是计算互质整数解数量 不等式

 

此问题称为原始圆问题,因为它涉及搜索原始圆问题的原始解。可以直观地理解为在原点的欧几里得果园中可见多少距离为r的树木的问题。如果表示此类解决方案的数量 然后的值 为了 取小整数值是

0,4,8,16,32,48,72,88,120,152,192 (OEIS中的数列A175341)

使用与普通的高斯圆问题相同的方法,以及两个整数互质几率 ,容易证明

 

与普通的圆问题一样,原始圆问题的问题部分在于减少误差项中的指数。如果假设黎曼猜想正确,目前最著名的指数是 。在不假设黎曼猜想正确的情况下,最著名的上限

 

其中 为正常数 。 [10]特别是,目前不假设黎曼猜想正确的情况下,对于任何  误差项没有限制。

笔记

  1. ^ 1.0 1.1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.
  2. ^ 王元. 数学大辞典. 高斯圆问题. Ke xue chu ban she. 2017. ISBN 7-03-053336-4. OCLC 1124964888. 
  3. ^ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283.
  4. ^ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366.
  5. ^ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR1956254
  6. ^ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.
  7. ^ Hirschhorn, Michael D. Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory. The American Mathematical Monthly. 2000, 107 (3): 260–264. Bibcode:10.1.1.28.1615 请检查|bibcode=值 (帮助). JSTOR 2589321. doi:10.2307/2589321. 
  8. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002654. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  9. ^ Landau, Edmund. Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band. Verlag S. Hirzel. 1927: 189. 
  10. ^ J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.

外部链接