面积

最基本的面积公式是长方形的公式。当l是长，w是宽时，其公式为：^[2]

${\displaystyle A=lw}$ 

当其图形是一个正方形时，${\displaystyle l=w}$ ，因此正方形的公式为：^[2]

${\displaystyle A=s^{2}}$ 

长方形的面积计算方法需要证明。

证明^[5]

引理：两个长方形面积之比等于其长宽之积之比

如图，根据《几何原本》第六卷命题一 ——等高之平行四边形的面积比与其底之比等同^[6]，我们得到

${\displaystyle {\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}}$ 

又

${\displaystyle {\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}}$ 

所以

${\displaystyle B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},}$ 

引理证毕。

定理：长方形的面积等于其长宽之积

根据引理， A:R=lw:(1x1)

定义单位正方形的面积为一平方单位。由于R是单位正方形，因此面积是一平方单位。将一平方单位代入R，得到：A:1=lw:1

${\displaystyle A=lw}$  （第五卷命题九）

（定理证毕）

切割图形

有些简单的公式可以切割的方式得出。

例如平行四边形，可以切割成一个梯形和一个直角三角形，如同右图。如果三角形移到平行四边形的另一边，就可以变成一个长方形。因此，平行四边形的面积公式有点像长方形的：^[2]

${\displaystyle A=bh}$ 

至于同样的平行四边形可以分割为两个全等三角形。因此三角形的公式为：^[2]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$ 

圆形面积

圆形面积公式是基于基本的面积公式，假设有一个半径为r的圆形，分成很多扇形，那一个扇形的面积就会很接近三角形，就像上图一样。如果分得够细小，就可以看到半径为r的圆形面积相等于一个高为r，底为πr的平行四边形。^[7]

我们也可以用积分得到更肯定的答案。

${\displaystyle A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.}$ 

计算不规则之图形面积，可用填补法或切割法来计算之。

表面积

一些基本的立体表面积公式：

• 立方体：${\displaystyle 6x^{2}}$ （x是立方体的边长）
• 长方体：${\displaystyle 2(lw+wh+hl)}$ （l、w、h分别是长方体的长、宽和高）
• 球体：${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ （r是球体的半径）
• 球冠：${\displaystyle 2\pi rh}$ （球冠是指被平面截下的部分球面；r是球体的半径；h是球冠高）
• 直立圆锥体：${\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$ （r是圆锥体底部的半径，h是它的高）
• 直立圆柱体：${\displaystyle 2\pi r(h+r)}$ （r是圆柱体圆形底部的半径，h是它的高）

主要单位

面积的测量单位主要包括：

• 平方公里——1,000,000平方米
• 平方公引（ha）——10,000平方米
• 平方公丈（a）——100平方米
• 平方米——1平方米，国际标准单位
• 平方公寸——0.01平方米
• 平方公分——0.0001平方分米
• 平方毫米——0.000001平方厘米

市制：

• 亩——10丈 × 6丈 ——33.33米 × 20米 ——666.67平方米
• 平方市里——0.25平方公里
• 平方市尺——1/9平方米

台制：

• 甲——9,699.173平方米（平方米）
• 坪——3.3058平方米（平方米）

香港：

• 平方呎（平方英尺）——929平方厘米

换算

其中一个定义面积的方法是利用公理定义。面积可以定义为一个由所有（可测）平面图形组成的集合M映射至实数的函数a，并满足以下条件：

• 对于所有${\displaystyle S\in M}$ ，有${\displaystyle a(S)\geq 0}$ 。
• 若${\displaystyle S,T\in M}$ ，则${\displaystyle S\cup T\in M}$ 及${\displaystyle S\cap T\in M}$ ，且${\displaystyle a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)}$ 。
• 若${\displaystyle S,T\in M}$ 且${\displaystyle S\subseteq T}$ ，则${\displaystyle T-S\in M}$ ，且${\displaystyle a(T-S)=a(T)-a(S)}$ 。
• 若${\displaystyle S\in M}$ 且${\displaystyle S}$ 全等于${\displaystyle T}$ ，则${\displaystyle T\in M}$ ，且${\displaystyle a(S)=a(I)}$ 。
• 任一矩形${\displaystyle R}$ 均属于${\displaystyle M}$ 。若矩形的长为${\displaystyle \ell }$ 而宽为${\displaystyle w}$ ，则${\displaystyle a(R)=\ell w}$ 。
• 设${\displaystyle Q}$ 为一平面图形。若存在唯一的实数${\displaystyle c}$ ，使得所有满足${\displaystyle S\subseteq Q\subseteq T}$ 的有限个矩形的并集（finite union of rectangles）${\displaystyle S}$ 及${\displaystyle T}$ 均有${\displaystyle a(S)\leq c\leq a(T)}$ ，则${\displaystyle Q\in M}$ ，且${\displaystyle a(Q)=c}$ 。

可以证明，满足上述条件的函数存在。 ^[8]

1. ^ ^{1.0 1.1} Weisstein, Eric W. (编). Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [3 July 2012]. （原始内容存档于2012-05-05） （英语）. 
2. ^ ^{2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7} Area Formulas. Math.com. [2 July 2012]. （原始内容存档于2012-07-02）. 
3. ^ Area of a Regular Polygon [正多边形的面积]. mathwords.com. [2021-09-23]. （原始内容存档于2022-01-04） （英语）. 
4. ^ ^{4.0 4.1} Weisstein, Eric W. (编). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [3 July 2012]. （原始内容存档于2012-06-23） （英语）. 
5. ^ mathdb.org - 存档副本 (PDF). [2016-06-12]. （原始内容 (PDF)存档于2014-07-25）. 
6. ^ Euclid's Elements Book VI Proposition 1. [2014-12-30]. （原始内容存档于2017-06-30）. 
7. ^ Braden, Bart. The Surveyor's Area Formula (PDF). The College Mathematics Journal. September 1986, 17 (4): 326–337 [15 July 2012]. doi:10.2307/2686282. （原始内容存档 (PDF)于2012-06-27）. 
8. ^ Moise, Edwin. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. 1963 [15 July 2012]. 

• 面积单位换算 （页面存档备份，存于互联网档案馆）