内切圆

任何三角形${\displaystyle ABC}$ 都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心，一般标记为I，是三角形内角平分线的交点^[1]。在三线坐标，内心是1:1:1。

性质

内切圆的半径为${\displaystyle {\frac {2\triangle }{a+b+c}}}$ ，当中${\displaystyle \triangle }$ 表示三角形的面积，a、b、c为三角形的三个边长。

以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形${\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}$ 是${\displaystyle ABC}$ 的内接三角形之一。${\displaystyle ABC}$ 的内切圆就是${\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}$ 的外接圆。而${\displaystyle AT_{A}}$ 、${\displaystyle BT_{B}}$ 和${\displaystyle CT_{C}}$ 三线交于一点，它们的交点就是热尔岗点（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。^[2]

三角形的外接圆半径R、内切圆半径r 以及内外心间距OI 之间有如下关系：

${\displaystyle R^{2}-OI^{2}=2Rr}$ ^[3]

直角三角形两股和等于斜边长加上该三角形内切圆直径

${\displaystyle a+b=c+2r}$ 

由此性质再加上勾股定理${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ，可推得：

${\displaystyle \triangle =r(r+c)}$ 

在直角座标系中，若顶点的座标分别为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 、${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 、${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$ ，则内心的座标为：

${\displaystyle ({\frac {ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}},{\frac {ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}})}$ ^[4]

不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等：${\displaystyle AB+CD=AD+BC}$ 。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为： ${\displaystyle S_{ABCD}=rs}$ ，其中s 为半周长。

同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。

正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为a 的正多边形的内切圆半径为：

${\displaystyle r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$ 

其内切圆的面积为：

${\displaystyle s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}$ 

内切圆面积${\displaystyle s_{n}}$ 与正多边形的面积${\displaystyle S_{n}}$ 之比为：

${\displaystyle \varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$ 

故此，当正多边形的边数${\displaystyle n}$ 趋向无穷时，

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)=1}$