伪内切圆

关于点${\displaystyle A}$ 的旁切圆是唯一的。

定义${\displaystyle \Phi }$ 为以下两个几何变换的复合：先以${\displaystyle A}$ 点为圆心，${\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}}$ 为半径作反演变换；再关于角${\displaystyle A}$ 的平分线作对称变换。由于反演变换和对称变换都为双射且变换前后保留交点的性质，${\displaystyle \Phi }$ 也有对应的性质。

${\displaystyle A}$ 点的旁切圆经${\displaystyle \Phi }$ 变换后的图像为内切于${\displaystyle AB}$ 、${\displaystyle AC}$ ，以及${\displaystyle ABC}$ 外接圆的一个圆，即关于点${\displaystyle A}$ 的伪内切圆。因此关于点${\displaystyle A}$ 的伪内切圆唯一确定。类似地，关于点${\displaystyle B}$ 及点${\displaystyle C}$ 的伪切圆也唯一确定。^[2]

半径

以下公式说明了三角形内切圆半径 ${\displaystyle r}$  和${\displaystyle A}$ -伪内切圆半径 ${\displaystyle \rho _{A}}$  的关系：

与伪内切圆在三角形边上的切点有关的性质

三角形内心${\displaystyle I}$ 为伪内切圆与三角形其中两边的切点${\displaystyle D}$ 和${\displaystyle E}$ 组成线段的中点^[4]。

${\displaystyle T_{A}D}$ 和${\displaystyle T_{A}E}$ 与圆${\displaystyle (ABC)}$ 除${\displaystyle T_{A}}$ 的交点分别为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ 和${\displaystyle {\overset {\frown }{AC}}}$ 的中点^[4]。

跟伪内切圆与三角形外接圆切点有关的圆

${\displaystyle T_{A}BDI}$  和 ${\displaystyle T_{A}CEI}$  为圆内接四边形^[4]。

${\displaystyle T_{A}I}$ 与圆${\displaystyle (ABC)}$ 除${\displaystyle T_{A}}$ 的交点为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{BAC}}}$ 的中点^[4]。

• 三角学
• 内切圆

• 埃里克·韦斯坦因. Mixtilinear Incircles. MathWorld.