鸡爪定理

设${\displaystyle \triangle ABC}$ 为任意三角形，${\displaystyle I}$ 为其内心，${\displaystyle \angle ABC}$ 的角平分线${\displaystyle BI}$ 交外接圆${\displaystyle \odot ABC}$ 于${\displaystyle D}$ 。定理断言，${\displaystyle D}$ 到${\displaystyle A,C,I}$ 三点等远（英语：equidistant），即${\displaystyle DA=DC=DI}$ 。

等价的说法有：

• 过${\displaystyle A,C,I}$ 三点的圆，圆心位于${\displaystyle D}$ 。这尤其说明该圆的圆心在于原三角形的外接圆上。^[3][4]
• 诸三角形${\displaystyle AID,CID,ACD}$ 皆为等腰，${\displaystyle D}$ 为其顶角。

还有第四点${\displaystyle I_{B}}$ 也到${\displaystyle D}$ 等远，就是${\displaystyle B}$ 所对的旁心。在以${\displaystyle D}$ 为圆心的圆上，${\displaystyle I_{B}}$ 与${\displaystyle I}$ 互为对径点，即${\displaystyle D}$ 为${\displaystyle II_{B}}$ 的中点。^[5][6]

由于同弧所对的圆周角相等，有

${\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.}$ 

又${\displaystyle BI}$ 为角${\displaystyle B}$ 的平分线，有

${\displaystyle \angle DCA=\angle DAC,}$ 

故${\displaystyle DA=DC}$ 得证（等圆周角对等弦）。

最后计角有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}}$ 

所以三角形${\displaystyle DIA}$ 有两底角相等，证毕${\displaystyle DA=DI}$ 。

定理适用于解决以下问题：已知某三角形的一个顶点${\displaystyle B}$ 、内心${\displaystyle I}$ 和外心${\displaystyle O}$ ，求作该三角形。作法如下：

1. 以${\displaystyle O}$ 为圆心，${\displaystyle OB}$ 为半径，作圆。此为三角形的外接圆。
2. 作直线${\displaystyle BI}$ ，与外接圆交于（${\displaystyle B}$ 以外的另一点）${\displaystyle D}$ 。
3. 以${\displaystyle D}$ 为圆心，${\displaystyle DI}$ 为半径作圆，定理保证所得的圆过另两个顶点${\displaystyle A,C}$ 。
4. 所以，该圆与外接圆的交点${\displaystyle A,C}$ 即为所求。^[7]

然而，并非在平面上任意取三点作为${\displaystyle B,I,O}$ 皆有对应的三角形。若以上作法不能给出三角形，则问题可能出在${\displaystyle IB}$ 与${\displaystyle \odot O}$ 相切，也可能在于最后两圆相切或外离。而且，若${\displaystyle B,I,O}$ 三点无任何限制，则即使作法确实给出三角形，${\displaystyle I}$ 亦不必为其内心，可能是旁心。该些情况下，不存在三角形以${\displaystyle B}$ 为顶点，${\displaystyle I}$ 为内心、${\displaystyle O}$ 为外心。（对于固定的${\displaystyle B,O}$ 两点，若要存在此种三角形，则${\displaystyle I}$ 必须位于以${\displaystyle B}$ 为尖点关于${\displaystyle \odot O}$ 作成的心脏线围成的区域中。）^[8]

其他构作三角形的问题，如给定顶点、内心、九点圆心，求作三角形，有部分情况可化归为前述问题解决，但一般而言无法尺规作出。^[8]

本定理有许多不同的名称。“鸡爪定理”得名自${\displaystyle DA,DI,DC}$ 诸线段组成的几何图形。同样，俄文称为лемма о трезубце^[9][5]，谓三叉引理，或теорема трилистника^[10]，谓三叶草定理。英文又称theorem of trillium“延龄草定理”，亦是以某种三叶植物命名。

定理亦有其他名称并非来自该形状，如“内心/旁心引理”（the incenter/excenter lemma）。^[2]