心脏线心脏线是有一个尖点的外摆线。也就是说,一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时,圆上一点的轨迹就是心脏线。 心脏线 一个圆滚动产生的心脏线 使用圆和切线生成一个心脏线 曼德博集合中间的图形是心脏线。 目录 1 方程 2 图像 3 面积 4 参见 5 参考文献 方程 在笛卡儿坐标系中,心脏线的参数方程为: x ( t ) = 2 r cos t ( 1 − cos t ) = 2 r ( cos t − 1 2 ( 1 + cos 2 t ) ) , {\displaystyle x(t)=2r\cos t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\left(1+\cos 2t\right)\right),} y ( t ) = 2 r sin t ( 1 − cos t ) = 2 r ( sin t − 1 2 sin 2 t ) {\displaystyle y(t)=2r\sin t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right)} 其中r是圆的半径。曲线的尖点位于(r,0)。 在极坐标系中的方程为: ρ ( θ ) = 2 r ( 1 − cos θ ) . {\displaystyle \rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\ } 图像 这是四个朝着不同方向的心脏线。 面积 方程为 ρ ( θ ) = a ( 1 − cos θ ) {\displaystyle \rho (\theta )=a(1-\cos \theta )} 的心脏线的面积为: A = 3 2 π a 2 {\displaystyle A={3 \over 2}\pi a^{2}} ,证明如下: 首先,因为函数图像关于 x {\displaystyle x} 轴对称,所以只要求出当 y ≥ 0 {\displaystyle y\geq 0} 时的面积再乘以2即可。 然后,易知当 θ = 0 , π {\displaystyle \theta =0,\pi } 的时候 ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} ,因此 A = 2 ∫ 0 π 1 2 ( a ( 1 − cos θ ) ) 2 d θ = a 2 ( θ − 2 sin θ + θ 2 + sin 2 θ 4 ) ∣ 0 π = 3 a 2 π 2 {\displaystyle A=2\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}(a(1-\cos \theta ))^{2}d\theta =a^{2}(\theta -2\sin \theta +{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin 2\theta }{4}})\mid _{0}^{\pi }={\frac {3a^{2}\pi }{2}}} 参见 外摆线参考文献 cut-the-knot (页面存档备份,存于互联网档案馆) Xah Lee, Cardioid (页面存档备份,存于互联网档案馆) (1998) Jan Wassenaar, Cardioid (页面存档备份,存于互联网档案馆), (2005)