参数方程

${\displaystyle x=a\cos(t),y=a\sin(t)}$ ，表示了平面上半径为${\displaystyle a}$ 、以原点为圆心的圆。在三维，加入${\displaystyle z=bt}$ ，便是螺旋的图形。这些式子可以表示成：

${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,}$ 

如果有一个粒子，沿这个螺旋的路径而行，直接微分上面的式子便会得到粒子的速度：

${\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,}$ 

及加速度：

${\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,}$ 

参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。

譬如一个圆柱：

${\displaystyle r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(a\cos(u),a\sin(u),v)\,}$ 

参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标x，y与时间t之间有函数关系x＝f(t)，y＝g(t)，这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x，y来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

• 直线：
  • [点斜式]过${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ，斜率为${\displaystyle m}$ 的直线: ${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\\y=y_{0}+mt\end{cases}}}$ 
  • [点向式]过${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , 方向向量为${\displaystyle (u,v)}$ 的直线：${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+ut\\y=y_{0}+vt\end{cases}}}$ 
• 圆：${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}}$ 
• 椭圆：${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}$ 
• 双曲线：${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}}$ 
• 抛物线：${\displaystyle {\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}}$ 
• 螺线：${\displaystyle {\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}}$ 
• 摆线：${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}}$ 

注：上文中的${\displaystyle a,b,c,h,k,l,m,p,r,x_{0},y_{0},u,v}$ 为已知数，t都为参数， x, y为变量

• 隐方程
• 极坐标系