梯形

由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行，长度为上底与下底的长度之和的一半。

若 ${\displaystyle a,b}$  为梯形的底边， ${\displaystyle c,d}$  为梯形的两腰，其中 ${\displaystyle a\neq b}$  ，则梯形的高：

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2|a-b|}}}$ 

梯形的面积 ${\displaystyle S}$  满足：

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(a+b)h}$ 

其中， ${\displaystyle h}$  是梯形的高， ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$  分别为其上底和下底。事实上，由于中位线 ${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$  因此梯形面积 ${\displaystyle S}$  亦满足：

${\displaystyle S=mh}$ 

其中 ${\displaystyle m}$  为中位线的长度。

以上两个公式均适用于任何梯形。

• 上下底边平行，因此上下邻角互为补角，度数和为180度。
• 对角线分割另一条对角线的比相同。

两腰长度相等的梯形称为等腰梯形。它具有如下性质：

1. 两条对角线相等。
2. 同一底上的二内角相等。
3. 对角互补，四顶点共圆。

依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：

1. 两腰相等的梯形是等腰梯形。
2. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
3. 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形。

一个底角为90°的梯形是直角梯形。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°。