四边形
在几何学中,四边形是指有四条边和四个顶点的多边形,其内角和为360度。四边形有很多种,其中对称性最高的是正方形,其次是长方形或菱形,较低对称性的四边形如等腰梯形和筝形,对称轴只有一条。其他的四边形依照其类角的性质可以分成凸四边形和非凸四边形,其中凸四边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸四边形可以再进一步分成凹四边形和复杂四边形,其中复杂四边形表示边自我相交的四边形。
四边形 | |
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面积 | 不同的四边形有不同的算法 见下文 |
内角(度) | 90 (正方形和长方形时) |
简单四边形
四边形可以分成简单四边形和复杂四边形两大类,简单四边形表示边没有交错的四边形,复杂四边形表示边有交错的四边形。
凸四边形
凸四边形是指所有角都比平角小的四边形,且两条对角线都落在其内部。
- 不规则凸四边形:是凸四边形中最大的子集,包含了所有的凸四边形,一般会用任意凸四边形称呼之。
- 不平行四边形:没有任何边互相平行的四边形。这个四边形的名称在英式英文与美式英文中有不同的称呼,英式英文将之称为“irregular quadrilateral”,而北美英文则称为“trapezium”。
- 梯形:只有一对边平行的四边形。这个四边形的名称在英式英文与美式英文中有不同的称呼,英式英文将之称为Trapezium,而北美英文则称为trapezoid。
- 等腰梯形:一对对边平行、另外两边等长但不平行。等腰梯形是一种梯形,是一种拥有更高的对称性的梯形。
- 三等边梯形:一对对边平行、另外两边和一底边等长的梯形。
- 平行四边形:具有两对平行边的四边形或两对边平行的四边形。其等效条件是有两对边等长、两对角等角,或者是对角线彼此平分。正方形、长方形、斜方形和菱形都是平行四边形。
- 菱形:主流文献上有两种定义。较粗疏的定义是四边相等,在这定义下,正方形是菱形的一种。另外一种定义较严谨,菱形是四边相等,但角不是直角[1]。在这定义下的正方形就不是菱形的一种。
- 斜方形:对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的四边形[1]。换句话说,就是平行四边形中不是菱形的形状[2]。其英语名称为Rhomboid[3],容易与菱形(英语:Rhombus)[4]混淆。
- 矩形:四个角都是直角的四边形。其等效条件是对角线互相平分且等长。正方形和长方形是矩形的一种。
- 长方形:角是直角,但四边不全相等的四边形[1]。
- 正方形:四边相等且四个角是直角的四边形[1]。由于其四个角都等角,又凸四边形内角和为360度,因此其四个角都是直角。其等效条件是对边平行且等长,对角线互相垂直平分且等长。
- 筝形,相邻边等长的四边形。其中一条对角线可以将之分割成两个全等的三角形,因此在这对角线两侧的对角会相等,这也意味着其对角线垂直。鹞形又称鸢形或筝形。
- 圆内接四边形:含有外接圆的四边形,换句话说,这个四边形的四个顶点落在一个圆上。
- 圆内接梯形:有一对平行边的圆内接四边形。
- 圆外切四边形:含有内切圆的四边形,换句话说,这个四边形的四条边与一个圆相切。
- 圆外切梯形:有一对平行边的圆外切四边形。
- 双心四边形:内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直,含有外接圆和内切圆。这个四边形的顶点落在一个圆上且对角和为180度。
- 直角筝形:有一对直角的筝形。正筝形是一种双心四边形。
- 正轴四边形:两对角线垂直的四边形。
- 等对角线四边形:对角线等长的四边形[5]。
- 旁心四边形:四条边向外延伸后能与一个圆心在四边形外的圆相切的四边形[6][7]。
- 等长四边形:表示有一对边长度相等,且两者成60度角的四边形。
- 瓦特四边形:一个对边等长的四边形[8]。
- 二次四边形:是指四个顶点都落在正方形周界上的四边形[9]。
- 直径四边形 :是指有一条边是外接圆圆心的圆内接四边形[10]。
非凸四边形
简单四边形中的非凸四边形是指不是凸四边形的其他四边形。
- 凹四边形:是指有至少一个角大于180度的四边形。
- 镖形(或箭头形、凹筝形):相邻边等长的凹四边形。
复杂四边形
边自我相交的四边形称为复杂四边形、折四边形、交叉四边形、蝴蝶四边形或领结四边形。交叉四边形在两个相交边的四个内角(两个锐角和两个优角)内角和可达720度[11]。
分类
分类依据 | 根据对称的特性 | 根据四边长度: | 根据角度大小: | 根据边的情形: | 根据顶点的情形: |
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种类 |
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面积
其中 、 表示两对角线的长度, 是对角线的夹角[14] 在正轴四边形(如菱形、正方形或筝形),这个式子可以化简成:
其中由于 是90°,因此修正项 可以消掉。
若凸四边形的四边长度分别是 、 、 、 ,对角线长度为 、 ,对角线相交的角度为 ,其面积为:
若对角线相交的角度为 ,四边形的对边的关系:
底下是一些针对特殊四边形的面积公式:
扭歪四边形
扭歪四边形,又称不共面四边形,是指顶点并非完全共面的四边形。因为扭歪四边形不存在唯一确定的内部区域,故无法计算其面积。
参考文献
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Euclid's Elements, Book I. mathcs.clarku.edu. [2017-10-21]. (原始内容存档于2017-09-18).
- ^ Archived copy (PDF). [2013-06-20]. (原始内容 (PDF)存档于2014-05-14).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhomboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhombus. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Colebrooke, Henry-Thomas, Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara, John Murray: 58, 1817
- ^ Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) pp. 33–52.
- ^ Bogomolny, Alexander. "Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals", Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. [2011-08-18]. (原始内容存档于2011-09-06).
- ^ G. Keady, P. Scales and S. Z. Németh, "Watt Linkages and Quadrilaterals", The Mathematical Gazette Vol. 88, No. 513 (Nov., 2004), pp. 475–492.
- ^ A. K. Jobbings, "Quadric Quadrilaterals", The Mathematical Gazette Vol. 81, No. 491 (Jul., 1997), pp. 220–224.
- ^ R. A. Beauregard, "Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides", College Mathematics Journal Vol. 40, No. 1 (Jan 2009), pp. 17-21.
- ^ Stars: A Second Look (PDF). [2016-08-25]. (原始内容 (PDF)存档于2016-03-03).
- ^ Quadrilaterals. technologyuk. [2016-08-25]. (原始内容存档于2017-07-06).
- ^ 13.0 13.1 Weisstein, Eric W. (编). Quadrilateral. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.