婆罗摩笈多公式

欧氏平面几何中,婆罗摩笈多公式是用以计算圆内接四边形面积的公式,以印度数学家婆罗摩笈多之名命名。一般四边形的面积公式请见布雷特施奈德公式

基本形式

婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式,是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,则其面积为:

 

其中s半周长

 

证明

圆内接四边形的面积 = 的面积 +  的面积

 

但由于 是圆内接四边形,因此 。故 。所以:

 
 
 
 

  利用余弦定理,我们有:

 

代入 (这是由于  互补角),并整理,得:

 

把这个等式代入面积的公式中,得:

 
 

它是 的形式,因此可以写成 的形式:

 
 
 

引入 

 

两边开平方,得:

 

证毕。

更特殊情况

若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,且外切于圆C,则其面积为:

 

证明

由于四边形内接于圆O,所以:

 

其中p为半周长:

 

又因为四边形外切圆C,所以:

 

则:

 

同理:

   

综上:

 

证毕。

一般情况

布雷特施奈德公式

对一般四边形的面积有布雷特施奈德公式,其叙述如下:

 

其中   是四边形一对对角和的一半。

注意到不论取到哪一对对角   的值都一样,因为四边形的内角和是  ,故如果选取到的是另一对角,其对角和的一半是  。而  ,所以有  

假设此时四边形恰好四顶点共圆,由于圆内接四边形的对角和为  ,因此  ,而且由  ,可推得此时  ,布雷特施奈德公式恰好退化回婆罗摩笈多公式。

柯立芝公式

另一个由柯立芝所证明的公式如下[1]

 

其中 pq 为四边形对角线之长。在圆内接四边形中,根据托勒密定理我们有 ,此公式退化回为婆罗摩笈多公式。

相关定理

海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取 的特殊情形。

婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式,就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。

  1. ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.