基本形式
婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式,是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,则其面积为:
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其中s为半周长:
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证明
圆内接四边形的面积 = 的面积 + 的面积
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但由于 是圆内接四边形,因此 。故 。所以:
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对 和 利用余弦定理,我们有:
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代入 (这是由于 和 是互补角),并整理,得:
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把这个等式代入面积的公式中,得:
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它是 的形式,因此可以写成 的形式:
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引入 ,
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两边开平方,得:
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证毕。
更特殊情况
若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d,且外切于圆C,则其面积为:
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证明
由于四边形内接于圆O,所以:
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其中p为半周长:
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又因为四边形外切圆C,所以:
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则:
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同理:
,
,
综上:
证毕。
一般情况
布雷特施奈德公式
对一般四边形的面积有布雷特施奈德公式,其叙述如下:
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其中 是四边形一对对角和的一半。
注意到不论取到哪一对对角 的值都一样,因为四边形的内角和是 ,故如果选取到的是另一对角,其对角和的一半是 。而 ,所以有 。
假设此时四边形恰好四顶点共圆,由于圆内接四边形的对角和为 ,因此 ,而且由 ,可推得此时 ,布雷特施奈德公式恰好退化回婆罗摩笈多公式。
柯立芝公式
另一个由柯立芝所证明的公式如下[1]:
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其中 p 及 q 为四边形对角线之长。在圆内接四边形中,根据托勒密定理我们有 ,此公式退化回为婆罗摩笈多公式。
相关定理
海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取 的特殊情形。
婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式,就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。
- ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.