布雷特施奈德公式

在几何学当中，布雷特施奈德公式是一条任意四边形的面积公式，由德国的数学家布雷特施奈德（英语：Carl Anton Bretschneider）所发现：

一个四边形

A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}

其中， $a,b,c,d$ 为四边形的边长， $s$ 为半周长，即 $s={\frac {a+b+c+d}{2}}$ ，而 $\alpha ,\gamma$ 为其中二个对角。

此公式可用于任何四边形，不论是否为圆内接四边形，可视为婆罗摩笈多公式之推广。

布雷特施奈德公式的证明

设四边形的面积为 $A$ ：

{\begin{aligned}A&=\triangle ADB+\triangle BDC\\&={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \gamma \end{aligned}}

可推得：

4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma

a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma

移项可得：

{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma

加入 $4A^{2}$ ：

4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma )

运用半角公式及因式分解可得：

16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)

代入半周长 $s$ ：

16A^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)

\therefore A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}