反平行四边形

在几何学中，反平行四边形（Antiparallelogram[1][2]，或称contraparallelograms[3]、crossed parallelograms[4]）是一种非凸四边形，和平行四边形同样有两对边等长的性质，但反平行四边形有一对边互相相交而形成复杂四边形，其中相交的那对边永远是最长的那一对边，且该对边始终不会互相平行。

反平行四边形

反平行四边形是交叉四边形（或称折四边形）的特例，其通常具有边不等长的性质[5]。另外交叉矩形是反平行四边形的一个特例，其具有一对边互相平行。

性质

所有的反平行四边形皆轴对称于其交叉边的交点上。在这种对称性下，反平行四边形皆具有两对边等长和两组角等角的特性[4]。

因此反平行四边形与筝形、等腰梯形一起形成具有对称轴的三个基本类别的四边形之一。反平行四边形的凸包为等腰梯形，因此每个反平行四边形皆可以由等腰梯形的非平行边和对角线形成[6]。

在多面体中

 
大斜方立方体的顶点图为反平行四边形。
 
反平行四边形二十四面体的面由反平行四边形组成。

部分星形多面体或非凸多面体具有反平行四边形的顶点图，例如四面半六面体、立方半八面体、小斜方立方体、小二十面半十二面体和小十二面半十二面体[7]。

在这类多面体中，若其面没有经过几何中心且没有顶点位于几何中心的话，其对偶多面体就会存在由反平行四边形组成的面，例如小反平行四边形二十四面体、反平行四边形二十四面体、小菱形十二面六十面体（英语：Small rhombidodecacron）、大菱形十二面六十面体（英语：Great_rhombidodecacron）、小十二合二十面六十面体（英语：Small dodecicosacron）和大十二面二十面六十面体。

有一种非凸的弹性多面体，布里凯尔八面体（英语：Bricard_octahedron）可以由两个底面为反平行四边形的四角锥组成[8]。

应用

 
反平行四边形固定一非交叉边后，其交叉边交点之轨迹可形成一个椭圆

反平行四边形可以应用在平面四杆机构中，其中四个固定长度的刚性梁对应于反平行四边形的四个边，使得对应的四个反平行四边形顶点处的关节相对于彼此旋转[9]，同时，这种结构有时也称为蝴蝶或蝴蝶结连杆。[10]在这个结构中有一个可以使其变换成平行四边形的不稳定点，反之亦然。[11]

若将反平行四边形的其中一个未与其他边相交之短边固定在一个位置并令其他边可以任意移动或转动，则反平行四边形相交边上的交点之轨迹会形成一个焦点位于固定边之顶点上的椭圆。[4][12]

天体力学

在N体问题与牛顿万有引力定律相关的研究中，系统中心的配置扮演着重要的角色。N体问题的其中一个可行解为系统中的所有物体都绕着一个中心点公转，有如彼此间存在刚性连接一般。例如对于一个三体系统，其有五种不同类型的解，由五个拉个朗日点决定；对一个四体系统而言，在两两等质量的情况下，有数值模型实验认为其会有2组两两一组的物体互绕公转，其运动模式与反平行四边形的连杆相似。[13]

参见

参考文献

  1. ^ antiparallelogram. rechneronline.de. [2019-11-05]. （原始内容存档于2019-09-05）. 
  2. ^ crossed quadrilateral. planetmath.org. [2019-11-05]. （原始内容存档于2019-11-05）. 
  3. ^ Demaine, Erik; O'Rourke, Joseph, Geometric Folding Algorithms, Cambridge University Press: 32–33, 2007, ISBN 978-0-521-71522-5 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Bryant, John; Sangwin, Christopher J., 3.3 The Crossed Parallelogram, How round is your circle? Where Engineering and Mathematics Meet, Princeton University Press: 54–56, 2008 [2019-09-08], ISBN 978-0-691-13118-4, （原始内容存档于2014-01-07） .
  5. ^ Quadrilaterals. [2019-09-08]. （原始内容存档于2017-07-06）. 
  6. ^ Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli, The Century Dictionary and Cyclopedia, The Century co.: 1547, 1911 
  7. ^ Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P., Uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 1954, 246: 401–450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003 
  8. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 
  9. ^ Koetsier, T and Roth, B. Point-path synthesis of antiparallelogram and kite four-bar linkages. Mechanism and Machine Theory (Elsevier). 1972, 7 (1): 55––62. 
  10. ^ Lambert M. Surhone, Miriam T. Timpledon, Susan F. Marseken. Antiparallelogram. BetaScript. 2010-08-10. ISBN 978-613-1-15700-4.  |journal=被忽略 (帮助)
  11. ^ Hadamard, J. Lessons in Geometry. Lessons in Geometry. American Mathematical Society. 2008. ISBN 9780821843673. LCCN 2008030263.  |number=被忽略 (帮助)
  12. ^ van Schooten, Frans, De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus. Geometris, Opticis; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Appendix, de Cubicarum Æquationum resolutione: 49–50, 69–70, 1646 [2019-10-31], （原始内容存档于2016-03-24） （拉丁语） 
  13. ^ Grebenikov, Evgenii A.; Ikhsanov, Ersain V.; Prokopenya, Alexander N., Numeric-symbolic computations in the study of central configurations in the planar Newtonian four-body problem, Computer algebra in scientific computing, Lecture Notes in Comput. Sci. 4194, Berlin: Springer: 192–204, 2006, MR 2279793, doi:10.1007/11870814_16