凸集

• 区间是实数的凸集。
• 依据定义，中空的圆形称为圆（circle），它不是凸集；实心的圆形称为圆盘（disk），它是凸集。
• 凸多边形是欧几理得平面上的凸集，它们的每只角都小于180度。
• 单纯形是凸集，对于单纯形的顶点集合来说，单纯形是它们的最小凸集，所以单纯形也是一个凸包。
• 定宽曲线是凸集。

在度量几何中，琴生不等式（Jensen's inequality）为凸集给出一个最健全的解释，而不必牵涉到二阶导数：

假设${\displaystyle S}$ 为在实或复向量空间的集。若对于所有${\displaystyle x,y\in S}$ 和所有${\displaystyle t\in [0,1]}$ ，有${\displaystyle (1-t)x+ty\in S}$ ，则称${\displaystyle S}$ 为凸集。

简单而言，就是${\displaystyle S}$ 中的任何两点之间的直线段都属于${\displaystyle S}$ 。因此，凸集是一个连通空间。

特殊凸集是特别给了名称的凸集，它们可能是具有额外性质的凸集，或是在某种定义下的凸集（非一般定义中的凸集）。

具有额外性质的凸集

• 绝对凸集：若${\displaystyle S}$ 既是凸集又是平衡集，则称${\displaystyle S}$ 为绝对凸的。

在某种定义下的凸集

• 星形凸集：若集${\displaystyle S}$ 中存在一点${\displaystyle x_{0}}$ ，使得由${\displaystyle x_{0}}$ 到${\displaystyle S}$ 中任何一点的直线段都属于${\displaystyle S}$ ，则称${\displaystyle S}$ 为星形域或星形凸集。星形域是简单连通的。

若${\displaystyle S}$ 是凸集，对于任意${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S}$ ，及所有非负数${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ 满足${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1}$ ，都有 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S}$ 。这个向量称为${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}}$ 的凸组合。

对于非欧平面，可用测地线来取代在欧几理德凸集的定义内直线段。

• 凸函数
• 凸包