连通空间
定义
拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立:
一个拓扑空间被称为是不连通的,若它不是连通的。
连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质,即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射,其中一个空间是连通的,则另一个空间也是连通的。
一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间,不过也有数学家不承认这一点。
连通单元
- 连通子集
- 拓扑空间X的子集A称为连通的,当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。
- 连通单元
- 拓扑空间的极大连通子集称作连通单元。
- 完全不连通空间
- 拓扑空间X称为完全不连通空间,当且仅当X的连通单元都是单元素集合。
每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。
其它连通性定义
道路连通,弧连通
- 称拓扑空间X是道路连通空间,当且仅当∀x,y∈X,存在连续函数 使得 。若 可取为使得 为同胚,则称X为弧连通空间。
道路连通空间必定是连通空间,反之不一定。
道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。
局部连通
拓扑空间X称为局部连通的,当且仅当以下叙述之一成立:
- 空间中的任一点都存在连通的邻域(即该邻域是X的连通子集)。
- 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。
例子
参考文献
- Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
- 埃里克·韦斯坦因. Connected Set. MathWorld.
- V. I. Malykhin, Connected space, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Muscat, J; Buhagiar, D. Connective Spaces (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. (原始内容 (PDF)存档于2016-03-04)..