代数簇

仿射簇

令 k 为代数封闭域并令${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 为 k 上的 n 维仿射空间。${\displaystyle f\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$  借着代值可以视之为${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 上的${\displaystyle k}$ -值函数。对任何子集${\displaystyle S\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ，定义${\displaystyle S}$ 的零点为${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 里使${\displaystyle S}$ 中所有元素取零值的点：

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0}$ 对于所有${\displaystyle f\in S\}}$ 

若存在${\displaystyle S}$ 使得${\displaystyle V\subset \mathbb {A} ^{n}}$ 满足${\displaystyle V=Z(S)}$ ，则称之仿射代数集。一个非空代数集${\displaystyle V}$ 被称作不可约，当且仅当它无法被写成两个真代数子集的联集。不可约仿射代数集称作仿射代数簇。

借由将所有代数集定义为闭集，仿射簇可被赋与一个自然的拓扑结构，称之扎里斯基拓扑。

给定${\displaystyle V\subset \mathbb {A} ^{n}}$ ，令${\displaystyle I(V)}$ 为所有在${\displaystyle V}$ 上取零值的函数所成的理想：

${\displaystyle I(V)=\{f\in k[x_{1},\cdots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;,\forall x\in V\}.}$ 

对任意仿射代数集${\displaystyle V}$ ，其座标环是多项式环对上述理想的商。

仿射簇之间的态射定义为多项式映射${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{n}):\mathbb {A} ^{m}\rightarrow \mathbb {A} ^{n}}$ 的限制。

射影簇

令${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 为 ${\displaystyle k}$  上的 n 维射影空间。虽然${\displaystyle k[X_{0},\ldots ,X_{n}]}$ 中的齐次多项式无法在齐次座标上取值（因为齐次坐标系实际上是一个等价类），其零点却可明确地定义。对任意齐次多项式集合 ${\displaystyle S}$ ，定义其零点为

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0\;,\forall f\in S\}.}$ 

若存在${\displaystyle S}$ 使得${\displaystyle V=Z(S)}$ ，则称之射影代数集。不可约性的定义同前。不可约射影代数集称作射影代数簇。

借着将所有代数集定为闭集，射影簇也赋有扎里斯基拓扑。

给定${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ，令${\displaystyle I(V)}$ 为所有在${\displaystyle V}$ 上取零的齐次多项式。对任意射影代数集${\displaystyle V}$ ，其齐次座标环定义为多项式环对此理想的商，这是一个分次环。

射影代数集可由一组有限的仿射开集覆盖。射影簇之间的映射${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 被称作态射，当且仅当存在仿射开覆盖${\displaystyle \bigcup _{i}V_{i}=Y}$ 及${\displaystyle \bigcup _{j}U_{ij}=f^{-1}(V_{i})}$ ，使得每个${\displaystyle f|_{U_{ij}}:U_{ij}\rightarrow V_{i}}$ 都是多项式映射。

拟仿射簇与拟射影簇

一个仿射簇的开子集被称作拟仿射簇（例如${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{(0,0)\}}$ ，可证明它既非射影簇亦非仿射簇）；同理，一个射影簇的开子集被称作拟射影簇。其间态射同样定义作局部上的多项式映射。

拟射影簇同时涵括了仿射簇、拟仿射簇与射影簇，它也是经典代数几何学的基本范畴。一个拟射影簇容许一组拓扑基，使得其中每个开集都是仿射簇；在此意义下，我们说一个拟射影簇可由仿射簇黏合而来。

• 仿射代数集${\displaystyle V}$ 是簇的充要条件是${\displaystyle I(V)}$ 为素理想；等价的说法是：${\displaystyle V}$ 是簇当且仅当其座标环是整环。
• 每个非空仿射代数集都可以表成代数簇的联集，使得此分解中的代数簇两两不相包含，且此表法唯一。
• 令${\displaystyle k[V]}$ 表簇${\displaystyle V}$ 的座标环，${\displaystyle V}$ 的维度是${\displaystyle k[V]}$ 的分式环对${\displaystyle k}$ 的超越次数。

上述定义与事实让我们可以探讨经典代数几何。如欲更进一步（例如探讨非代数封闭域上的代数簇），则需要一些根本的改变。现行的代数簇概念较上述定义复杂，且适用于任何域${\displaystyle K}$ ：一个抽象代数簇是${\displaystyle K}$ 上的有限型分离整概形。

概形可表为有限个仿射概形沿着开集的黏合，而${\displaystyle K}$ 上的有限型仿射整概形不外就是仿射簇。因此我们可以沿着开集黏合有限多个${\displaystyle K}$ 上的仿射簇，从而得到抽象代数簇，且无须担心它是否可嵌入射影空间。这也引起一个问题：我们可能会得到病态的对象，例如将${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\sqcup \mathbb {A} ^{1}}$ 沿着${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ 黏合，遂得到带有两个原点的仿射直线；是故要求分离性以排除之。

某些现代学者还去掉定义中的整性，只要求每个仿射开集的座标环有平凡的幂零根。

上述的簇被称作塞尔意义下的簇，因为让-皮埃尔·塞尔的奠基之作Faisceaux algébriques cohérents（代数凝聚层）探讨了这类簇。尽管现在已有更抽象的对象作辅助，它们仍然是代数几何的踏脚石。

另一条推广的进路是容许可约代数集，所以其座标环不一定是整域；这在技术上只是一小步，更重要的推广是容许结构层中有幂零元素；幂零元无法被看作座标函数，也不影响拓扑结构。就范畴论观点，为了构造有限的射影极限（或构造纤维积），就必须容许幂零元。几何上而言，一个好的映射之纤维仍可能有“无穷小”结构。亚历山大·格罗滕迪克的概形论能融贯上述各种推广，但一般的“概形”仍不如“簇”来得富有几何直观。

此外尚有称作堆与代数空间的深入推广。

• 函数域
• 奇点
• 双有理几何
• 阿贝尔簇
• 动形
• 概形

• Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997.  
• David Cox; John Little, Don O'Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms second edition. Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-94680-1.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• David Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1999.  
• David Dummit; Richard Foote. Abstract Algebra third edition. Wiley. 2003. ISBN 978-0-471-43334-7.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)