概形

给定一个局部赋环空间${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ，如果对${\displaystyle X}$ 的一个开集${\displaystyle V}$ ，${\displaystyle (V,{\mathcal {O}}_{X}|_{V})}$ 是仿射概形，称${\displaystyle V}$ 为仿射开集。

一个局部赋环空间${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 称为概形，如果${\displaystyle X}$ 的每一点${\displaystyle x}$ 都有仿射开邻域，即包含${\displaystyle x}$ 的仿射开集。

直观上说，概形是由仿射概形粘起来得到的，正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。

两个概形之间的态射就是它们作为局部赋环空间的态射。

全体概形构成范畴，其态射取为局部赋环空间之间的态射（另见概形的态射（英语：morphism of schemes））。给定概形${\displaystyle Y}$ ，所谓${\displaystyle Y}$ 之上的概形${\displaystyle X}$ （又称${\displaystyle Y}$ -概形）即是概形间的态射${\displaystyle X\to Y}$ 。交换环${\displaystyle R}$ 上的概形${\displaystyle X}$ 即是态射${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)}$ 。

域${\displaystyle k}$ 上的代数簇可定义为${\displaystyle k}$ 上的满足特定条件的概形，但对于具体何种概形可称为簇，有不同约定，其中一种定义为${\displaystyle k}$ 之上有限型（英语：Morphism of finite type）的整、分离概形。^[2]

态射${\displaystyle f:X\to Y}$ 确定了正则函数环上的拉回同态${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)}$ 。对于仿射概形，此构造给出概形态射${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)}$ 与环同态${\displaystyle B\to A}$ 之间的一一对应。^[3]此意义下，概形论包含了交换环论的全部内容。

由于${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是交换环范畴（英语：category of commutative rings）的始对象，概形范畴对应以${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ 为终对象。对于交换环${\displaystyle R}$ 上的概形${\displaystyle X}$ ，所谓${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle R}$ 值点即是态射${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)}$ 的截面（英语：section (category theory)），全体${\displaystyle R}$ 值点的集合记作${\displaystyle X(R)}$ ，其对应的古典概念是定义${\displaystyle X}$ 的方程组在${\displaystyle R}$ 中的解集。若${\displaystyle R}$ 实为域${\displaystyle k}$ ，则${\displaystyle X(k)}$ 亦称为${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle k}$ -有理点（英语：rational point）集。

推而广之，设有交换环${\displaystyle R}$ ，其上有概形${\displaystyle X}$ 和交换代数${\displaystyle S}$ ，则${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle S}$ 值点定义为${\displaystyle R}$ 之上的态射${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to X}$ （该态射需要与射向${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ 的态射组成交换图表），${\displaystyle S}$ 值点的集合记作${\displaystyle X(S)}$ 。（类比到方程组的情况，相当于将某个域${\displaystyle k}$ 扩张成${\displaystyle E}$ ，再考虑${\displaystyle E}$ 中的解集。）固定${\displaystyle R}$ 及其上的概形${\displaystyle X}$ 时，映射${\displaystyle S\mapsto X(S)}$ 为自交换${\displaystyle R}$ 代数范畴至集合范畴的函子。${\displaystyle R}$ 上的概形${\displaystyle X}$ 可从此点函子（英语：functor of points）确定。^[4]

概形的纤维积（英语：fiber product of schemes）总存在：对任意两态射${\displaystyle X\to Y,Z\to Y}$ ，皆可在概形范畴内找到纤维积${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ （即范畴学拉回）。若${\displaystyle X,Z}$ 为域${\displaystyle k}$ 上的概形，则两者在${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ 上的纤维积可以视为${\displaystyle k}$ -概形范畴中的积，例如仿射空间${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ 与${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 在${\displaystyle k}$ 上之积正是${\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}}$ 。

由于概形范畴既有纤维积，又有终对象${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ，其有齐全部有限极限。

概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“预概形”（法语：préschéma，英语：prescheme），1967年左右改称现名。

概形的中文名称源自日文“概型”。

• 仿射概形的开子集不一定仿射，因此需要考虑（非仿射的）一般概形。例如，设${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}\setminus \{0\}}$ （基域取复域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 为例），则当${\displaystyle n\geq 2}$ 时，${\displaystyle X}$ 不为仿射。（但对于${\displaystyle n=1}$ 的情况，仿射直线挖去原点，同构于仿射概形${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} [x,x^{-1}]}$ 。）欲证${\displaystyle X}$ 非仿射，可以证出当${\displaystyle n\geq 2}$ 时，${\displaystyle X}$ 上的每个正则映射，皆可延拓至${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 上。（对正则映射较易证明；对解析函数，则是复分析的哈托格斯延拓定理（英语：Hartogs's extension theorem））。换言之，嵌入${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{n}}$ 导出自${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ 至${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ 的环同构。假若${\displaystyle X}$ 仿射，将由此得出${\displaystyle f}$ 本身亦为同构，但${\displaystyle f}$ 不为满射，矛盾。因此，概形${\displaystyle X}$ 不为仿射。^[5]
• 设${\displaystyle k}$ 为域，则可数积${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }k}$ 的谱${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ 为仿射概形，底下的拓扑空间为正整数集（离散）的斯通-切赫紧化，因为质理想与正整数集上的超滤子一一对应：超滤子${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 对应质理想

  ${\displaystyle \quad I=\{x\in \prod _{n=1}^{\infty }k:\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0\}\in {\mathcal {F}}\},}$ 

  特别地，正整数${\displaystyle n}$ 对应的主超滤子，对应的质理想是${\displaystyle \{x:x_{n}=0\}}$ 。^[6]本例仿射概形为零维空间，故而每点自成一个既约分支（英语：irreducible component）。由于仿射概形皆拟紧，本例是拟紧但具有无穷多个既约分支的概形。（诺特概形（英语：Noetherian scheme）则与之相对，衹有有限多个既约分支。）

• Arapura, Donu. Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces. Illinois Journal of Mathematics. 2011, 55 (4): 1367–1384. MR 3082873. doi:10.1215/ijm/1373636688  . 
• Eisenbud, David; Harris, Joe. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry（粵语：代數幾何 (書)）. Springer-Verlag. 1997 [1977]. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. 

• 《代数几何基础》