超越次数

域扩张 ${\displaystyle L/K}$  的一组超越基是子集 ${\displaystyle S\subset L}$ ，使得 ${\displaystyle S}$  在 ${\displaystyle K}$  上代数独立，而且 ${\displaystyle L/K(S)}$  是代数扩张。可证明超越基存在，而任两组超越基的基数皆相同，由此可定义超越次数为超越基底的基数。

• 域扩张是代数扩张的充要条件是其超越次数为零。
• 有理函数域 ${\displaystyle k(X_{1},\ldots ,X_{n})}$  对 ${\displaystyle k}$  的超越次数为 ${\displaystyle n}$ 。
• 对于代数簇的函数域，其超越次数等于代数簇的维度。
• ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$  的超越次数是连续统；另一方面，${\displaystyle \mathbb {C} }$  代数封闭，因此任何特征为零的有限生成域都能嵌入 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。

域与向量空间有下述类比：代数独立集对应到线性独立集、超越基对应到基、超越次数对应到维度。证明基的基数唯一时，两方面都用到基的“交换引理”。任意域上超越基的存在性依赖于选择公理，向量空间的基底亦同。在模型论中，这两者可以统一于预几何的框架下。

若 ${\displaystyle L/K}$ 、${\displaystyle M/L}$  为域扩张，则 ${\displaystyle M/K}$  的超越次数为 ${\displaystyle M/L}$  与 ${\displaystyle L/K}$  的超越次数相加，此点可借由取超越基的联集证之。