连续统

连续统（英语：Continuum）在数学概念中是指，在实数集里实数可以连续变动，也就是说，实数集是个连续统。[注 1][注 2]

有序集

在集合论中，连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集，而且其序满足如下性质[注 3]：

  1. 稠密：在任意两个元素之间存在第三个元素
  2. 无洞：有上界的非空子集一定有上确界

实数集即为连续统的例子；实际上它是连续统的原型。以下是连续统的几个例子：

  1. 序结构与实数集同构（序同构）的集合，例如实数集里的任何开区间
  2. 扩展的实数轴，以及序同构于它的，比如单位区间。
  3. 实的半开半闭区间如 (0,1] 等，以及其序同构。
  4. 拓扑学中有一种比实数线还要长的“长直线”
  5. 非标准分析中的超实数集

连续统的基数

主条目：连续统的势

康托的连续统假设有时会被叙述成“在连续统的基数和自然数的基数之间不存在任何基数”，这里的“连续统”指的是实数集；连续统的基数即特指实数集的基数。

拓扑学

在点集拓扑学中，一个连续统是指任何非空的紧致连通度量空间。[注 4]

按照以上定义，一个单点集也是连续统。拥有多于一个点的连续统称为非退化的连续统；由连通性和豪斯多夫性质，可知它一定含有无穷个点。连续统理论即是拓扑学中研究拓扑连续统的分支。其中一个有趣的问题是不可分解连续统的存在性：

  • 是否存在这样的连续统 C ，它可以写成两个连续统的并集，且这两个都是 C 的真子集？

答案是肯定的，第一个例子由鲁伊兹·布劳威尔给出[1]。

注释

  1. ^ 更严格的描述需要使用序理论、拓扑学等数学工具。这里的连续是相对于离散的概念而言的。在不讨论精确的定义前，有时人们也会谈到一个量可以在某范围内连续取值，或者说该量的变化范围是一个连续统。
  2. ^ 在数学上，连续统这一术语至少有两种精确定义，但并不等价。另外，连续统一词有时即指实数线或者实数集，这是较旧的叫法；见连续统假设。
  3. ^ 具此性质的序称为“稠密无洞”的
  4. ^ 或者非空的紧致连通豪斯多夫空间，但较少用

外部链接

参考

  1. ^ Charles E. Aull, Robert Lowen. Handbook of the history of general topology. Springer. 2001.