长直线

闭长射线L定义为第一不可数序数ω₁与半开区间[0, 1)的笛卡儿积，赋以自ω₁ × [0, 1)上的字典序生成的序拓扑。将闭长射线除去最小元素(0,0)就得出开长射线。

长直线是将两个方向各一条长射线合并而成。严格来说，长直线可以定义为反向开长射线（反向指倒转次序）和（不反向）闭长射线的不交并上的序拓扑，令闭长射线上各点都大于反向开长射线上各点，使成为全序集。另一个做法是取两条开长射线，将一条射线的开区间{0} × (0, 1)与另一条的同一开区间的反向等同，也就是将一条上的点(0, t)和另一条上的点(0,1 − t)等同。（其中t是实数，且0 < t < 1。）定义长直线为将两条开长射线如此黏贴而得出的拓扑空间。第一个构造法给出长直线上的次序，并且表明长直线的拓扑是序拓扑；而等二个构造法用了黏贴开集合方法，以拓扑观点以言较为清晰。

直观上，闭长射线就像实（闭）半直线，但有一方向相比要长得多：其一端称为长的，另一端称为闭的。开长射线就像实数线（或开半直线），除了有一方向更长：其一端称为长的，另一端称为短（开）的。长直线比实数线两方向都比实数线长：其两端都称为长的。

有很多作者将长射线（或闭或开）称为“长直线”，对上述各种长空间的称呼多有混淆。不过在不少反例中，这些分别都不要紧，因为反例的关键在于长的一端，而另一端或长或短，都无关重要。

与上述的空间相关的有（闭）扩充长射线L*，是在闭长射线L的长端加一个元素而得到L的一点紧致化空间。同样可以在长直线两端各加上一个元素，得出扩充长直线。

闭长射线L = ω₁ × [0,1)包含了不可数多个[0,1)首尾“黏合”。相对而言，对任何可数序数α，黏合α个[0,1)所得的空间仍然是同胚（且序同构）于[0,1)。而如果将“多于”ω₁个[0,1)黏合，得出的空间不再是局部同胚于R。

在L中的任何递增序列都趋向L中的一个极限，因为ω₁的元素是可数序数，任何由可数多个可数序数组成的族的最小上界是一个可数序数，以及在R中每个递增有界序列都收敛。因此不存在从L到R的严格递增函数。

在长射线（无论扩充与否）和长直线上的是序拓扑，因此是正规豪斯多夫空间。这些空间都与实数线等势，但比实数线“长得多”。这些空间都是局部紧致。没有一个可度量化，因为长射线是序列紧致，但非紧致，就连林德勒夫空间也不是。

非扩充的长直线和长射线不是仿紧致空间。这些空间是道路连通，局部道路连通，单连通，但不是可缩的。这些空间是一维拓扑流形。若是闭长射线，则为带边流形。这些空间是第一可数，但不是第二可数，也不是可分的。所以要求流形的定义有后两个性质的作者，不把长直线算为流形。

长直线和长射线可以赋予（不可分）微分流形结构。不过虽然它们的拓扑流形结构唯一（拓扑上而言，只有一个方法令一条实数线在某一端“加长”），微分流形结构却非唯一：对每个自然数k，给定长直线及长射线上任一个C^k结构，都有无限多个C^k+1或C^∞结构，可以导出该C^k结构。^[2]以上性质与通常的（即是可分）流形有显著差异，因为只要k≥1，通常的流形上的一个C^k结构就决定了唯一的C^∞结构。

长直线和长射线不能赋予一个黎曼度量，以导出其拓扑。因为黎曼流形就算不假设是仿紧致，也可以证明是可度量化。^[3]

扩充长射线L*是紧致的，是闭长射线L的一点紧致化，却也是其Stone-Čech紧致化，因为任何连续函数从（闭或开的）长射线到实数线终于会是常数。L*也是连通，但非道路连通，因为长直线“太长”，不能用一条道路覆盖。道路就是一个区间的连续像。L* 不是流形，也不是第一可数的。