笛卡儿积

易见笛卡儿积满足下列性质：

• 对于任意集合${\displaystyle A}$ ，根据定义有${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }$ 
• 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
• 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$ 

${\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)}$ 

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$ 

${\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)}$ 

${\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}$ 

• 若一个集合${\displaystyle A}$ 包含有无限多的元素，那这个集合对自身的笛卡尔积${\displaystyle A\times A}$ 有和${\displaystyle A}$ 一样多的元素。

集合${\displaystyle X}$ 的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积${\displaystyle X\times X}$ 。一个例子是二维平面${\displaystyle R\times R}$ ，（这里${\displaystyle R}$ 是实数集） - 它包含所有的点${\displaystyle (x,y)}$ ，这里的${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在${\displaystyle n}$ 个集合${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ 上的n-元笛卡儿积:

${\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}}$ 。

实际上，它可以被等同为${\displaystyle \left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}}$ 。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间${\displaystyle R\times R\times R}$ ，这里的${\displaystyle R}$ 同样是指实数集。

对最常用的数学应用而言，上述定义通常已经足够。但是，也可以在任意（可能无限）的集合的搜集上定义笛卡儿积。

如果${\displaystyle I}$ 是任何指标集合，而

${\displaystyle \{X_{i}\ |i\in I\}}$ 

是由${\displaystyle I}$ 索引的集合的搜集，则我们定义

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\}}$ ，

就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引${\displaystyle i}$ 上的值是${\displaystyle X_{i}}$ 的元素。

对在${\displaystyle I}$ 中每个${\displaystyle j}$ ，定义自

${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)\ }$ 

的函数

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}\ }$ 

叫做第${\displaystyle j}$ 投影映射。

n-元组可以被看作在${\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}$ 上的函数，它在${\displaystyle i}$ 上的值是这个元组的第${\displaystyle i}$ 个元素。所以，在${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}$ 的时候，这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义给出的是集合族。

在无限情况，一个令人熟悉的特例是，当索引集合是自然数集${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ 的时候：这正是其中第i项对应于集合${\displaystyle X_{i}}$ 的所有无限序列的集合。再次，${\displaystyle \mathbb {R} }$ 提供了这样的一个例子：

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }$ 

是实数的无限序列的搜集，可视之为带有无限个构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子X_i都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。这样，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

在别的情况，无限笛卡儿积就不那么直观了；尽管在高等数学中的应用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”这一陈述等价于选择公理。

如果${\displaystyle f}$ 是从${\displaystyle A}$ 到${\displaystyle B}$ 的函数，而${\displaystyle g}$ 是从${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle Y}$ 的函数，则它们的笛卡儿积${\displaystyle f\times g}$ 是从${\displaystyle A\times X}$ 到${\displaystyle B\times Y}$ 的函数，带有

${\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}$ 

跟之前类似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况。

• 有序对
• 幂集公理
• 二元关系
• 笛卡儿
• 乘积拓扑
• 乘积 (范畴论)
• 拉回 (范畴论)

• Cartesian Product at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hazewinkel, Michiel (编), Direct product, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4