有序对

设(a₁, b₁)和(a₂, b₂)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为：

${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\leftrightarrow (a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2})}$ 

有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组（n项的列表）。例如，有序三元组 (a,b,c)可以定义为(a, (b,c))，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。

诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义：

${\displaystyle (x,y)\equiv _{def}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}}$ 

他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透过集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）

标准Kuratowski定义

在公理化集合论中，有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对：

${\displaystyle (a,b)_{K}\equiv _{def}\{\{a\},\{a,b\}\}}$ 

陈述“x是有序对p的第一个元素”可以公式化为

${\displaystyle \forall \ Y\in p:x\in Y}$ 

而陈述“x是p的第二个元素”为

${\displaystyle (\exists \ Y\in p:x\in Y)\land (\forall \ Y_{1}\in p,\forall \ Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))}$ 

注意这个定义对于有序对p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的；在这种情况下陈述(∀ Y₁ ∈ p, ∀ Y₂ ∈ p : Y₁ ≠ Y₂ → (x ∉ Y₁ ∨ x ∉ Y₂))显然是真的，因为不会有Y₁ ≠ Y₂的情况。

变体定义

上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果(a,b)=(x,y)则a=x且b=y）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

1. (a,b)_reverse:= { {b}, {a,b} }
2. (a,b)_short:= { a, {a,b} }
3. (a, b)₀₁:= { {0,a}, {1,b} }

“逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一个缺点，它的特征性质的证明会比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，这将意味着2是对 (0,0)_short。

证明有序对的特征性质

Kuratowski对： 证明：(a,b)_K = (c,d)_K当且仅当a=c且b=d。

仅当：

如果a=b，则 (a,b)_K = {{a}, {a,a}} = { {a} }，且 (c,d)_K = {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d}，或c=d=a=b。

如果a≠b，则{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。

如果{c,d} = {a}，则c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但这样{{a}, {a, b}}就会等于{{a}}，继而b = a，跟先前的假设矛盾。

如果{c} = {a,b}，则a=b=c，这矛盾于a≠b。所以{c} = {a}，即c=a，且{c,d} = {a,b}。

并且如果d=a，则{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b。

所以同样有a=c且b=d。

当：

反过来，如果a=c并且b=d，则显然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)_K = (c,d)_K。

逆对： (a,b)_reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)_K。

如果 (a,b)_reverse = (c,d)_reverse，则 (b,a)_K = (d,c)_K。所以b=d且a=c。

反过来，如果a=c和b=d，则显然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)_reverse = (c,d)_reverse。

Quine-Rosser定义

Rosser（1953年）^[1]扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设${\displaystyle \mathbb {N} }$ 是自然数的集合，${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$ 是${\displaystyle \mathbb {N} }$ 在${\displaystyle x}$ 内的相对差集，并定义：

${\displaystyle \varphi (x)=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}}$ 

φ(x)包含在x中所有自然数的后继，和x中的所有非数成员。特别是，φ(x)不包含数0，所以对于任何集合A和B，${\displaystyle \phi (A)\not =\{0\}\cup \phi (B)}$ 。

以下是有序对 (A,B)的定义：

${\displaystyle (A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$ 

提取这个对中那些不包含0的所有元素，然后再还原${\displaystyle \varphi }$ 的作用，就得出了A。类似的，B可以通过提取这个对的包含0的所有元素来复原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一个函数（定义为有序对的集合），有只比序对的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。^[2]

Morse定义

Morse（1965年）^[3]提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那样，定义投影为集合的有序对。接着，他重定义对 (x,y)为

${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$ 

这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对组成的集合并且

${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}|t\in x\}}$ 

这便允许了定义以真类为投影的有序对。

• 笛卡儿积
• 二元关系